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我们来解决一个关于求曲线方程的问题。已知一条曲线通过点(1,3)，并且在曲线上任意一点P(x,y)处的切线斜率为4x的三次方。我们需要求出这条曲线的方程。
首先，我们需要理解切线斜率的含义。在微积分中，函数在某点的切线斜率等于该点的导数，即dy除以dx。根据题目条件，我们有dy除以dx等于4x的三次方。这样我们就建立了微分方程dy等于4x的三次方乘以dx。
接下来，我们对微分方程两边进行积分。对dy积分得到y，对4x的三次方dx积分，首先提取常数4，然后对x的三次方积分得到x的四次方除以4，所以结果是4乘以x的四次方除以4再加上积分常数C，化简后得到y等于x的四次方加C。这里C是积分常数，代表一族曲线。
现在我们利用初始条件来确定积分常数C的值。已知曲线通过点(1,3)，我们将x等于1，y等于3代入通解y等于x的四次方加C中。得到3等于1的四次方加C，即3等于1加C。解得C等于3减1等于2。因此，所求曲线的方程是y等于x的四次方加2。
让我们总结一下解题过程。首先，根据题目给出的切线斜率条件，我们建立了微分方程dy除以dx等于4x的三次方。然后对微分方程两边积分，得到通解y等于x的四次方加C。接着利用曲线通过点(1,3)这个初始条件，确定积分常数C等于2。最终得到所求曲线的方程为y等于x的四次方加2。