视频字幕
托勒密定理是平面几何中的一个重要定理。它描述了圆内接四边形的四条边长与两条对角线长度之间的特殊关系。对于圆内接四边形ABCD，定理表明：对角线AC与BD的乘积，等于对边乘积的和，即AB乘以CD加上BC乘以DA。
托勒密定理的数学表达式为：对角线AC乘以BD等于对边乘积AB乘以CD加上BC乘以DA。这个公式只适用于圆内接四边形，也就是说四个顶点必须都在同一个圆上。图中红色线段表示四边形的四条边，蓝色线段表示两条对角线。
托勒密定理在平面几何解题中有四个主要应用。第一，求解未知的边长或对角线长度。第二，判断四边形是否为圆内接四边形。第三，作为工具证明几何命题。第四，结合三角学知识解决复杂问题。右图展示了一个具体例子：已知圆内接四边形的四条边长分别为3、4、5、6，我们可以利用托勒密定理求出对角线AC的长度。
现在我们来求解这个具体例子。首先设对角线BD的长度为x，然后应用托勒密定理。将已知的边长数值代入公式：AC乘以x等于3乘以5加上4乘以6。计算右边得到AC乘以x等于39。这样我们就建立了包含未知量AC和x的方程，可以进一步求解。
总结一下我们学习的内容。托勒密定理是描述圆内接四边形边长与对角线关系的重要定理。其公式为对角线乘积等于对边乘积之和。主要应用包括求解未知长度和判断四边形的圆内接性质。托勒密不等式是该定理的推广形式。这个定理在平面几何证明中是非常重要的工具。