视频字幕
微积分是数学中一个非常重要的分支，它主要研究两个核心概念：变化率和累积。微积分处理的是连续变化的量，比如物体运动时速度的变化、曲线在某一点的斜率，以及计算不规则形状的面积等问题。
微积分的产生有其深刻的历史背景。古代数学主要处理静态问题，比如几何图形的面积和体积计算，或者匀速直线运动。但是现实世界中存在大量连续变化的现象，如物体的加速运动、人口的增长、温度的变化等。传统数学无法有效描述这些动态过程，特别是无法计算瞬时变化率，这就迫切需要新的数学工具。
微分是微积分的第一个核心概念，它专门研究瞬时变化率。微分解决的核心问题是：如何计算函数在某一点的瞬时变化率？导数就是这个问题的答案。导数定义为当h趋近于0时，函数增量与自变量增量比值的极限。通过这个图示可以看到，当两点之间的距离越来越小时，割线逐渐变成切线，其斜率就是函数在该点的导数。
积分是微积分的第二个核心概念，它专门研究累积和求和问题。积分解决的核心问题是如何计算曲线下的面积，以及如何求解各种累积量。积分的基本思想是将要计算的区域分割成无限多个无限小的矩形，然后将这些矩形的面积求和。通过这个动画可以看到，当矩形数量越来越多时，矩形面积的总和越来越接近曲线下的真实面积。
总结一下，微积分的存在具有重要意义。它解决了传统数学无法处理的连续变化问题，通过微分研究瞬时变化率，通过积分研究累积与求和。微积分基本定理更是揭示了微分与积分之间的深刻联系。微积分为科学、工程、经济等众多领域提供了强大的分析工具，是现代科学技术发展不可缺少的数学基础。