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某单位有一万名职工，需要通过验血筛查乙肝病毒携带者。假设携带病毒的人占千分之一。传统方法是对每个人逐一化验，需要一万次化验。统计专家提出新方法：随机按五人一组分组，将各组五个人的血样混合再化验。如果混合血样呈阴性，说明这五个人全部阴性；如果呈阳性，说明至少有一人阳性，需要对每个人再分别化验一次。
现在我们来计算新方法的期望化验次数。首先计算五人全部阴性的概率。单人阴性概率为1减去千分之一等于0.999。五人全部阴性的概率为0.999的五次方，约等于0.99501。接下来计算每组的期望化验次数。如果混合血样阴性，只需化验1次；如果阳性，需要化验1加5等于6次。期望化验次数等于1乘以0.99501加上6乘以0.00499，约等于1.025次每组。
现在我们来比较两种方法的化验次数。传统方法需要一万次化验。新方法的总组数等于一万除以五等于两千组。总化验次数等于两千乘以1.025约等于两千零五十次。新方法约需两千零五十次化验，比传统方法减少约百分之八十。因此，答案是新方法能显著减少化验次数。
现在解决第二个问题。如果携带病毒的人占百分之二，按k人一组，求使化验次数最少的k值。每人期望化验次数的公式为C(k)等于1乘以1减p的k次方加上k加1乘以1减去1减p的k次方，再除以k。当p等于0.02时，我们计算不同k值的结果。C(6)约等于0.2808，C(7)约等于0.2747，C(8)约等于0.2742，C(9)约等于0.2774。通过比较可以看出，当k等于8时，C(k)达到最小值。因此结论是k等于8时化验次数最少。
让我们总结一下这个血样检测优化问题的关键结论。对于问题一，五人一组的新方法能显著减少化验次数。传统方法需要一万次化验，而新方法约需两千零五十次，减少了约百分之八十的化验次数。对于问题二，当病毒携带率为百分之二时，八人一组是最优分组方案。这个问题展示了如何通过数学建模来优化检测效率和成本。