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有理数是可以表示为两个整数之比的数。也就是说，有理数可以写成分数形式p除以q，其中p和q都是整数，且q不等于0。在数轴上，有理数包括所有整数，如-2、-1、0、1、2等，以及所有分数，如-3/2、-1/2、3/4、3/2等。
有理数的十进制表示有两种形式。第一种是有限小数，例如1/2等于0.5，3/4等于0.75，1/8等于0.125。第二种是无限循环小数，例如1/3等于0.333循环，2/3等于0.666循环，1/6等于0.166循环，1/7等于0.142857循环。所有有理数都可以表示为这两种形式之一。
无理数是不能表示为两个整数之比的数。它们的十进制表示是无限不循环小数。著名的无理数包括根号2，它是第一个被证明是无理数的数，约等于1.414；圆周率π，它是圆周长与直径的比值，约等于3.142；自然对数的底数e，约等于2.718；以及黄金比例φ，它等于(1+根号5)/2。这些数在数学和科学中都有重要应用。
现在我们来看一个经典的证明：证明根号2是无理数。我们采用反证法。假设根号2是有理数，则存在最简分数p/q使得p/q等于根号2，其中p和q互质。平方后得到2等于p²/q²，整理得2q²等于p²。这说明p²是偶数，因此p也是偶数。所以p可以写成2k的形式，其中k是整数。代入原式得到2q²等于4k²，简化得q²等于2k²。这说明q²是偶数，因此q也是偶数。但这与我们假设p和q互质矛盾！因此，根号2不可能是有理数，它是无理数。
总结一下，有理数可以表示为两个整数的比，它们的十进制表示是有限小数或无限循环小数。无理数不能表示为两个整数的比，它们的十进制表示是无限不循环小数。著名的无理数包括根号2、圆周率π、自然对数的底数e和黄金比例φ。有理数和无理数共同构成了实数系。在实数轴上，每一个点都对应唯一的一个实数，可以是有理数或无理数。这种分类帮助我们理解数的本质和结构。