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泰勒公式是数学中的一个重要概念，它允许我们用多项式来近似表示复杂的函数。这种方法基于函数在某一点的值及其各阶导数。泰勒公式的一般形式如图所示。以指数函数e的x次方为例，我们可以在x等于0处展开。一阶泰勒多项式是1加x，它在原点附近给出了一个线性近似。
随着泰勒多项式阶数的增加，近似的精度会不断提高。让我们继续看指数函数e的x次方在x等于0处的泰勒展开。一阶泰勒多项式是1加x，二阶泰勒多项式增加了二次项x的平方除以2，三阶泰勒多项式又增加了三次项x的立方除以6。从图中可以看出，随着阶数的增加，泰勒多项式与原函数的拟合程度越来越好，特别是在展开点附近的区域。
泰勒公式的完整形式包含一个余项，表示为R_N(x)。这个余项衡量了N阶泰勒多项式与原函数之间的误差。在图中，红色区域表示二阶泰勒多项式与原函数e的x次方之间的误差。余项可以用拉格朗日余项形式表示，其中ξ是展开点a与x之间的某个值。当阶数N趋向无穷大，且余项趋于零时，泰勒级数就会收敛于原函数。让我们通过动画看看，随着阶数增加，泰勒多项式如何越来越接近原函数。