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三角形的五心是三角形几何中的五个重要点，分别是内心、外心、垂心、重心和旁心。这些点各自有特殊的几何意义和性质。在这个系列中，我们将逐一介绍这五个重要的点。首先，让我们来看内心。内心是三角形三条内角平分线的交点。它也是三角形内切圆的圆心。
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。它也是三角形外接圆的圆心。要找到外心，我们首先需要找到三角形每条边的中点，然后从这些中点作垂直于对应边的线。这些垂直平分线的交点就是外心。外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。
垂心是三角形三条高线的交点。高线是从三角形的一个顶点向对边作的垂线。在这个例子中，我们从顶点A向边BC作垂线，从顶点B向边AC作垂线，从顶点C向边AB作垂线。这三条高线的交点就是垂心。垂心的位置取决于三角形的形状。在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。
重心是三角形三条中线的交点。中线是连接三角形顶点与对边中点的线段。在这个例子中，我们连接顶点A与边BC的中点E，连接顶点B与边CA的中点F，连接顶点C与边AB的中点D。这三条中线的交点就是重心。重心有一个重要的性质：它将每条中线分成2:1的比例，即从顶点到重心的距离是从重心到对边中点距离的两倍。重心也是三角形的质心，如果三角形是由均匀材料制成的，那么重心就是三角形的平衡点。
旁心是三角形的一种特殊中心点，它是一条内角平分线和另外两个外角平分线的交点。每个三角形有三个旁心，分别对应三条边。在这个例子中，我们展示了与边BC相对的旁心。它是角A的内角平分线与角B和角C的外角平分线的交点。旁心是旁切圆的圆心。旁切圆与三角形的一条边相切，与另外两条边的延长线相切。三角形的五心——内心、外心、垂心、重心和旁心，各自具有独特的几何性质，在数学研究和应用中都有重要意义。