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正态分布，也称为高斯分布，是一种在统计学中非常重要的连续概率分布。它的概率密度函数曲线呈钟形，左右对称，峰值位于均值处。正态分布由两个参数决定：均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的离散程度或胖瘦。当均值为0且标准差为1时，称为标准正态分布。正态分布在自然科学、社会科学、工程学等许多领域广泛应用，例如测量误差、身高体重分布、考试成绩等。
正态分布有几个重要的特性。首先，它的概率密度函数曲线呈钟形。其次，曲线以均值μ为中心左右对称，这意味着均值、中位数和众数在正态分布中是同一个值。第三，它只有一个峰值，位于均值处。第四，曲线两端无限接近横轴，但永不触碰。最后，正态分布遵循68-95-99.7法则，即在均值μ上下一个标准差σ的范围内，包含了约68%的数据；在均值上下两个标准差的范围内，包含了约95%的数据；在均值上下三个标准差的范围内，包含了约99.7%的数据。这个法则在实际应用中非常有用。
正态分布由两个参数决定：均值μ和标准差σ。均值决定了分布的中心位置。改变均值会使曲线左右移动，但不会改变分布的形状。例如，当均值从0变为2时，整个分布向右移动2个单位。标准差决定了分布的离散程度或胖瘦。标准差越大，曲线越平坦，分布越分散；标准差越小，曲线越陡峭，分布越集中。例如，当标准差从1增加到2时，曲线变得更加平坦，表示数据更加分散。理解这两个参数对正态分布的影响，对于分析和解释实际数据非常重要。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布，是最基本的正态分布形式。在统计学中，我们经常需要将不同正态分布的数据进行比较。为此，我们使用Z分数，也称为标准分数。Z分数表示原始数据与均值的偏离程度，以标准差为单位进行度量。计算公式为：Z等于X减去μ再除以σ。对于标准正态分布，由于μ等于0，σ等于1，所以Z分数就等于X本身。Z分数为0表示值等于均值；Z分数为+1表示比均值高一个标准差；Z分数为-1表示比均值低一个标准差。通过Z分数转换，我们可以将任何正态分布的数据转换为标准正态分布，便于查表或使用软件计算概率。
让我们总结一下正态分布的关键点。正态分布是一种重要的连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。它由均值μ和标准差σ两个参数决定，均值决定中心位置，标准差决定分散程度。正态分布遵循68-95-99.7法则，即在均值上下一个、两个和三个标准差的范围内，分别包含约68%、95%和99.7%的数据。标准正态分布是均值为0、标准差为1的正态分布，是最基本形式。通过Z分数转换，可以将任何正态分布转换为标准形式，便于计算概率。正态分布在自然科学、社会科学、工程学等领域有广泛应用，如测量误差、身高体重分布、考试成绩等。理解正态分布对于数据分析和统计推断至关重要。