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正态分布，也称为高斯分布，是一种重要的连续概率分布。它的概率密度函数呈钟形曲线，由两个参数决定：均值μ和标准差σ。均值μ决定了曲线的中心位置，而标准差σ则决定了曲线的宽度或分散程度。在标准正态分布中，均值为0，标准差为1。正态分布在统计学和数据分析中有着广泛的应用。
正态分布有几个重要的特性。首先，它的曲线呈钟形，左右对称。在正态分布中，均值、中位数和众数都相等，曲线以均值为中心。标准差决定了曲线的形状：标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。这里我们可以看到三条不同标准差的正态分布曲线。红色曲线的标准差最小，所以最陡峭；绿色曲线的标准差最大，所以最扁平。无论标准差如何变化，正态分布曲线下的总面积始终为1，表示概率总和为100%。
3σ原则，也称为经验法则，是正态分布的一个重要特性。它描述了数据点落在均值周围特定范围内的概率。在正态分布中，约68.27%的数据落在均值μ加减1个标准差的范围内，这是图中红色区域。约95.45%的数据落在均值μ加减2个标准差的范围内，对应黄色区域。而约99.73%的数据落在均值μ加减3个标准差的范围内，即绿色区域。这意味着，对于服从正态分布的数据，超出均值正负3个标准差范围的数据点非常罕见，概率不到0.3%。因此，在实际应用中，我们通常将超出这个范围的数据视为异常值或离群点。3σ原则广泛应用于质量控制、风险管理等领域。
正态分布在实际生活中有广泛的应用。在质量控制领域，它用于判断产品尺寸、重量是否合格，以及监控制造过程的稳定性。这里展示的是一个质量控制图的例子，中间蓝线是均值，上下红线是控制上限和下限，通常设置为均值加减3个标准差。当测量值超出这些限制时，表明过程可能出现了异常，需要干预。在数据分析中，正态分布用于异常值检测和数据标准化。在风险管理领域，它帮助评估金融风险和进行保险精算计算。此外，许多自然和社会现象也近似服从正态分布，如人类的身高、体重和考试成绩分布。
让我们总结一下今天学习的内容。正态分布是一种重要的连续概率分布，其特征是钟形曲线。它由两个参数决定：均值μ决定曲线的中心位置，标准差σ决定曲线的分散程度。3σ原则告诉我们，对于服从正态分布的数据，约68.27%的数据落在均值μ加减1个标准差的范围内，约95.45%的数据落在均值μ加减2个标准差的范围内，约99.73%的数据落在均值μ加减3个标准差的范围内。这意味着超出均值正负3个标准差范围的数据非常罕见，概率不到0.3%，因此通常被视为异常值。正态分布在质量控制、数据分析、风险管理等众多领域都有广泛应用。