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三角代換是一種積分技巧，主要用於處理被積函數中包含特定形式的根式。這些形式包括：根號下a平方減x平方、根號下a平方加x平方，或根號下x平方減a平方。通過將變量x替換為三角函數的形式，我們可以利用三角恆等式來簡化這些根式，從而更容易進行積分。
第一種情況是當被積函數中含有根號下a平方減x平方的形式。這時，我們使用代換x等於a乘以正弦θ，其中θ的範圍是負π/2到正π/2。通過這個代換，根號下a平方減x平方可以簡化為a乘以餘弦θ。這是因為a平方減x平方等於a平方減a平方乘以正弦平方θ，等於a平方乘以1減正弦平方θ，也就是a平方乘以餘弦平方θ，開根號後得到a乘以餘弦θ。同時，dx等於a乘以餘弦θ乘以dθ。這樣，原來的積分就轉化為關於θ的積分。
第二種情況是當被積函數中含有根號下a平方加x平方的形式。這時，我們使用代換x等於a乘以正切θ，其中θ的範圍是負π/2到正π/2之間，不包括端點。通過這個代換，根號下a平方加x平方可以簡化為a乘以正割θ。這是因為a平方加x平方等於a平方加a平方乘以正切平方θ，等於a平方乘以1加正切平方θ，也就是a平方乘以正割平方θ，開根號後得到a乘以正割θ。同時，dx等於a乘以正割平方θ乘以dθ。這樣，原來的積分就轉化為關於θ的積分。
第三種情況是當被積函數中含有根號下x平方減a平方的形式。這時，我們使用代換x等於a乘以正割θ，其中θ的範圍是0到正π/2之間，不包括π/2。通過這個代換，根號下x平方減a平方可以簡化為a乘以正切θ。這是因為x平方減a平方等於a平方乘以正割平方θ減a平方，等於a平方乘以正割平方θ減1，也就是a平方乘以正切平方θ，開根號後得到a乘以正切θ。同時，dx等於a乘以正割θ乘以正切θ乘以dθ。這樣，原來的積分就轉化為關於θ的積分。
讓我們總結一下三角代換的三種情況。第一種情況，當被積函數含有根號下a平方減x平方時，我們用x等於a乘以正弦θ代換，得到根號下a平方減x平方等於a乘以餘弦θ。第二種情況，當被積函數含有根號下a平方加x平方時，我們用x等於a乘以正切θ代換，得到根號下a平方加x平方等於a乘以正割θ。第三種情況，當被積函數含有根號下x平方減a平方時，我們用x等於a乘以正割θ代換，得到根號下x平方減a平方等於a乘以正切θ。三角代換的一般步驟包括：識別被積函數中的根式形式，選擇合適的三角代換，將x和dx替換為θ的表達式，計算新的三角積分，最後將結果換回原變量x。通過這些步驟，我們可以將複雜的積分轉化為更容易處理的形式。