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旋转变换是一种常见的几何变换。在旋转变换中，不动点是指在变换前后位置保持不变的点。对于非恒等旋转，即旋转角度不是360度的整数倍，只有旋转中心是不动点。而对于恒等旋转，即旋转角度是360度的整数倍，所有点都是不动点。在图中，红色点是旋转中心，它在旋转变换中保持不变，而蓝色三角形旋转后变为绿色三角形，只有旋转中心保持不变。
等距变换是一种保持距离不变的几何变换。这意味着，如果我们对一个图形应用等距变换，图形的形状和大小都不会改变，只会改变位置或方向。常见的等距变换包括平移、旋转、反射和滑移反射。在平移变换中，图形沿着一个方向移动；在旋转变换中，图形围绕一个点旋转；在反射变换中，图形关于一条线或一个平面翻转。这些变换都保持了图形中任意两点之间的距离不变，因此称为等距变换。
等距变换在数学上构成一个群，称为等距变换群。群是一种代数结构，它满足四个基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。对于等距变换，封闭性意味着两个等距变换的复合仍然是等距变换；结合律意味着变换的复合顺序可以灵活调整；单位元是恒等变换，它不改变任何图形；逆元是指每个等距变换都有一个逆变换，使得它们的复合等于恒等变换。这些性质使得等距变换构成了一个数学上严格定义的群结构，这在群论中有重要应用。
在群论中，对称群是指保持某个图形不变的所有等距变换构成的群。例如，正六边形的对称群包含了6个旋转和6个反射，共12个变换，这构成了二面体群D6。不动点在群论中有重要应用。例如，固定某个点的所有变换构成一个子群，称为该点的稳定子群。轨道-稳定子群定理告诉我们，群的阶等于稳定子群的阶乘以轨道的大小。这些概念帮助我们理解群的作用和结构。在分子对称性、晶体学和量子力学中，对称群和不动点都有广泛应用。
总结一下我们所学的内容：旋转变换中的不动点是旋转中心，对于非恒等旋转，只有旋转中心是不动点；等距变换是保持距离不变的几何变换，包括平移、旋转、反射和滑移反射；等距变换构成一个群，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质；对称群是保持图形不变的等距变换构成的群，如正六边形的对称群D6；不动点在群论中帮助理解群的作用和结构，例如通过稳定子群和轨道-稳定子群定理。这些概念在数学、物理、化学等领域有广泛应用。