A classroom has a row of 35 coat hooks. Paulina likes coats to be equally spaced, so that there is the same number of empty hooks before the first coat, after the last coat, and between every coat and the next one. Suppose there is at least 1 coat and at least 1 empty hook. How many different numbers of coats can satisfy Paulina's pattern?

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教室里有一排35个挂钩。Paulina希望外套间隔均匀，使得第一个外套前、最后一个外套后以及每两个相邻外套之间的空挂钩数量相等。假设至少有1件外套和1个空挂钩，有多少种不同的外套数量可以满足Paulina的要求？让我们来分析这个问题。我们设总挂钩数为N等于35，外套数为C，空挂钩间隔为s。根据题目要求，第一个外套前有s个空挂钩，最后一个外套后有s个空挂钩，每两个相邻外套之间也有s个空挂钩。 现在我们来推导公式。总挂钩数N由第一个外套前的s个空挂钩、C个外套、C-1组相邻外套之间的s个空挂钩、以及最后一个外套后的s个空挂钩组成。所以N等于s加C加(C-1)s再加s，化简得s(C+1)+C。已知N等于35，所以s(C+1)+C等于35。进一步变形得C(s+1)+s等于35，即C(s+1)等于35-s。因此C等于(35-s)/(s+1)，进一步化简为36/(s+1)-1。对于特殊情况C等于1，我们有s等于17。对于一般情况，s+1必须是36的因子，且在合理范围内。计算得到可能的外套数量有1、2、3、5、8、11和17，共7种不同的外套数量。 让我们验证所有可能的解答。当外套数C等于1时，空挂钩间隔s等于17。当C等于2时，s等于11。当C等于3时，s等于8。当C等于5时，s等于5。当C等于8时，s等于2。当C等于11时，s等于1。当C等于17时，s也等于1。我们可以看到，所有这些情况下，总挂钩数都是35，且满足Paulina的要求：第一个外套前、最后一个外套后以及每两个相邻外套之间的空挂钩数量相等。因此，可以满足Paulina模式的不同外套数共有7种：1、2、3、5、8、11和17。 让我们从数学角度解释这个问题。设总挂钩数N等于35，外套数为C，空挂钩间隔为s。根据均匀分布的要求，我们得到方程N等于s乘以(C+1)加C。代入N等于35，得到35等于s乘以(C+1)加C，变形为C等于36除以(s+1)减1。因为C和s都是正整数，所以s+1必须是36的因子。36的因子有1、2、3、4、6、9、12、18和36。考虑到C至少为1，s+1的有效值为2、3、4、6、9、12、18和36，对应的s值为1、2、3、5、8、11、17和35。但当s等于35时，C等于0，不符合题意。因此，可以满足Paulina模式的不同外套数共有7种。 总结一下，教室里有一排35个挂钩，需要满足外套间隔均匀的条件。通过数学建模，我们得到方程：35等于s乘以(C+1)加C。变形为：C等于36除以(s+1)减1，其中s+1必须是36的因子。经过分析，我们找到了所有有效的外套数量：1、2、3、5、8、11和17。因此，可以满足Paulina模式的不同外套数共有7种。这个问题展示了如何将实际问题转化为数学模型，并通过代数方法求解。