视频字幕
多元函数是指函数值依赖于多个变量的函数。例如，f(x,y)等于x的平方加上x乘以y再加上y的三次方。这种函数可以用三维曲面来表示，其中x和y是自变量，z是函数值。偏导数就是研究当我们只改变其中一个变量时，函数值如何变化的概念。
偏导数可以直观地理解为在三维曲面上沿着特定方向行走时的坡度。想象你站在山上的某一点，如果你只沿着东西方向走，也就是只改变x坐标而保持y坐标不变，你会感受到一个坡度，这就是对x的偏导数。同样，如果你只沿着南北方向走，也就是只改变y坐标而保持x坐标不变，你会感受到另一个坡度，这就是对y的偏导数。这两个方向的坡度通常是不同的。
计算偏导数的方法非常简单。首先，将其他变量视为常数；然后，按照单变量函数的求导规则进行计算。让我们以函数f(x,y)等于x的平方加上x乘以y再加上y的三次方为例。求对x的偏导数时，我们把y看作常数。x的平方对x求导得2x；xy对x求导得y（因为y被视为常数）；y的三次方对x求导得0（因为它是关于x的常数）。所以对x的偏导数等于2x加y。同理，求对y的偏导数时，我们把x看作常数。x的平方对y求导得0；xy对y求导得x；y的三次方对y求导得3y的平方。所以对y的偏导数等于x加3y的平方。
偏导数的几何意义是曲面上特定方向的切线斜率。对x的偏导数表示曲面上与y轴平行的切线斜率，也就是沿着x方向的变化率。对y的偏导数表示曲面上与x轴平行的切线斜率，也就是沿着y方向的变化率。这些切线可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。偏导数在实际应用中非常重要，它可以帮助我们确定函数在某点沿特定方向的变化率，也可以用来找出函数的极值点。在物理、经济学和工程等领域，偏导数被广泛应用于描述多变量系统的变化规律。
让我们总结一下多元函数偏导数的关键概念。偏导数描述了多元函数在单一变量方向上的变化率，它告诉我们当一个变量变化而其他变量保持不变时，函数值如何变化。计算偏导数的方法很简单：将其他变量视为常数，然后按照单变量函数的求导规则进行计算。偏导数的几何意义是曲面上特定方向的切线斜率。对x的偏导数表示沿x方向的变化率，对y的偏导数表示沿y方向的变化率。理解偏导数对于学习多元微积分、解决实际问题以及理解更高级的数学概念都是非常重要的基础。