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三角函数是描述角度与边长关系的函数，在数学、物理和工程中有广泛应用。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。在直角三角形中，正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，而正切函数定义为对边除以邻边，也等于正弦除以余弦。
三角函数之间存在重要的关系。倒数关系表示每个三角函数都有其倒数函数：正弦的倒数是余割，余弦的倒数是正割，正切的倒数是余切。商数关系则表示正切等于正弦除以余弦，余切等于余弦除以正弦。在单位圆中，正弦值是点的y坐标，余弦值是点的x坐标，而正切值可以通过在x等于1处的垂直线段表示。
平方关系，也称为勾股恒等式，是三角函数中最基本的恒等式之一。最著名的是正弦平方加余弦平方等于1，即sin²θ + cos²θ = 1。这个公式可以从单位圆或直角三角形中推导出来。在单位圆中，点(cosθ, sinθ)到原点的距离始终为1，根据勾股定理，x²加y²等于1，即cos²θ加sin²θ等于1。类似地，我们可以推导出1加tan²θ等于sec²θ，以及1加cot²θ等于csc²θ。
和差角公式是三角函数中非常重要的公式，它们表示两个角的和或差的三角函数值。例如，sin(α+β)等于sinα·cosβ加上cosα·sinβ，而cos(α+β)等于cosα·cosβ减去sinα·sinβ。这些公式可以在单位圆上直观理解：当我们将两个角α和β相加时，得到的点在圆上的位置可以通过这些公式计算。和差角公式有广泛的应用，包括计算特殊角的三角函数值、将三角函数的积转化为和差形式，以及解三角方程等。
二倍角公式是由和差角公式推导出的特殊情况，用于计算角度为2θ的三角函数值。例如，sin2θ等于2sinθcosθ，cos2θ可以表示为cos²θ减sin²θ，也可以表示为2cos²θ减1，或者1减2sin²θ。这些公式在三角函数的变换和计算中非常有用。此外，还有一些其他重要的公式，如负角公式：sin(-θ)等于-sinθ，cos(-θ)等于cosθ；以及周期性公式：sin(θ+2π)等于sinθ，cos(θ+2π)等于cosθ。这些公式共同构成了三角函数的基础理论体系，在数学、物理和工程等领域有广泛应用。