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二倍角公式是三角函数中的重要公式，它将角2θ的三角函数用角θ的三角函数表示出来。从图中可以看到，正弦函数sin(2θ)的周期是正弦函数sin(θ)的一半，振幅相同。通过二倍角公式，我们可以建立这两个函数之间的代数关系。
正弦二倍角公式表示为：sin(2θ)等于2sinθcosθ。这个公式可以通过和角公式推导得出。根据和角公式，sin(α+β)等于sinαcosβ加上cosαsinβ。当α等于β等于θ时，sin(2θ)等于sin(θ+θ)，即sinθcosθ加上cosθsinθ，也就是2sinθcosθ。从单位圆上可以看出，sin(2θ)的值与2sinθcosθ的值相等。
余弦二倍角公式表示为：cos(2θ)等于cos²θ减去sin²θ。这个公式同样可以通过和角公式推导。根据和角公式，cos(α+β)等于cosαcosβ减去sinαsinβ。当α等于β等于θ时，cos(2θ)等于cos(θ+θ)，即cos²θ减去sin²θ。利用三角恒等式sin²θ加cos²θ等于1，我们可以得到两个等价形式：cos(2θ)等于2cos²θ减1，或者等于1减2sin²θ。这三种形式在不同情况下都很有用。
正切二倍角公式表示为：tan(2θ)等于2tanθ除以1减tan²θ。这个公式可以通过正弦和余弦的二倍角公式推导。首先，tan(2θ)等于sin(2θ)除以cos(2θ)。代入sin(2θ)等于2sinθcosθ，以及cos(2θ)等于cos²θ减sin²θ，然后通过代数变换，将分子分母同除以cos²θ，利用tanθ等于sinθ除以cosθ的定义，最终得到tan(2θ)等于2tanθ除以1减tan²θ。需要注意的是，这个公式要求θ不等于kπ/2加π/4，其中k为整数，因为在这些角度上，tan(2θ)无定义。
让我们总结一下二倍角公式。正弦二倍角公式：sin(2θ)等于2sinθcosθ。余弦二倍角公式：cos(2θ)等于cos²θ减sin²θ，也等于2cos²θ减1，或者1减2sin²θ。正切二倍角公式：tan(2θ)等于2tanθ除以1减tan²θ。这些公式在数学和物理学中有广泛应用，包括三角方程求解、三角恒等式证明、积化和差与和差化积公式的推导、多项式函数的三角替换，以及物理学中的波动和振动分析等。掌握这些公式对于解决复杂的三角问题非常重要。