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椭圆是高中数学中重要的解析几何内容。椭圆的定义是：平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个定点称为椭圆的焦点，通常记为F₁和F₂。如图所示，对于椭圆上的任意一点P，它到两个焦点的距离之和|PF₁|加|PF₂|等于常数2a。这个常数必须大于两焦点之间的距离。
椭圆的标准方程有两种形式，取决于焦点的位置。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x平方除以a平方加y平方除以b平方等于1，其中a大于b大于0。当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x平方除以b平方加y平方除以a平方等于1。在这两种情况下，a都表示半长轴长，b表示半短轴长，它们与半焦距c之间满足关系式：a平方等于b平方加c平方。图中展示了焦点在x轴上的椭圆，其中2a是长轴长，2b是短轴长，2c是焦距。
椭圆的离心率e定义为c比a，其中c是半焦距，a是半长轴长。离心率的取值范围是0到1之间，它反映了椭圆的扁平程度。e越接近0，椭圆越接近圆形；e越接近1，椭圆越扁平。椭圆还有一个重要概念是准线。当焦点在x轴上时，准线方程为x等于正负a平方除以c，也等于正负a除以e。当焦点在y轴上时，准线方程为y等于正负a平方除以c，也等于正负a除以e。椭圆有一个重要性质：椭圆上任意点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率e。
椭圆的焦半径公式描述了椭圆上任意点到两个焦点的距离。当焦点在x轴上时，对于椭圆上任意点P(x,y)，它到焦点F₁的距离等于a加ex，到焦点F₂的距离等于a减ex，其中e是离心率。椭圆还可以用参数方程表示，即x等于a乘以cosθ，y等于b乘以sinθ，参数θ的取值范围是0到2π。这里的参数θ表示动点P与x轴正方向的夹角。通过参数方程，我们可以方便地描述椭圆上点的运动轨迹，这在物理和工程应用中非常有用。
椭圆具有重要的几何性质和广泛的应用。首先是反射性质：从一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必通过另一个焦点。这一性质在声学、光学和医学中有重要应用。其次是切线性质：椭圆上一点的切线与该点到两焦点的连线所成的角相等。椭圆在现实生活中有许多应用，例如开普勒第一定律指出，行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。在建筑领域，椭圆形拱桥和穹顶能够有效分散压力。在医学领域，椭圆的反射特性被应用于超声波碎石和MRI等技术中。