视频字幕
三角函数是数学中的一组重要函数，用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ，对边b，邻边a，和斜边c。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，而正切函数定义为对边除以邻边，也等于正弦除以余弦。
三角函数也可以通过单位圆来定义。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这种定义使三角函数可以扩展到任意角度，不再局限于直角三角形中的锐角。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化，展现出三角函数的周期性质。这种定义方式更加普遍，也更便于理解三角函数在物理学和工程学中的应用。
三角函数的图像展示了其周期性质。正弦函数图像类似波浪，从0开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到0，在3π/2时降至最小值-1，最后在2π回到0，如此循环。余弦函数则类似，但横向移动了π/2，从1开始，经0、-1，再回到1。这两函数都是周期为2π的周期函数，意味着当角度增加2π时，函数值会回到原点。这种周期性质使三角函数特别适合描述自然界中的周期现象，如波动、振动和旋转运动。
三角函数的发明源于解决实际问题的需求。在天文学中，人们需要计算天体位置和预测天文现象，这需要处理球面几何和角度关系。航海领域中，确定船只位置、计算航向和距离，都依赖于角度和距离的测量。在测量学中，测量土地面积和绘制地图，需要通过已知角度和距离计算未知量。物理学中，三角函数用于描述波动、振动等周期性现象。工程学中，建筑设计和机械运动分析也离不开三角函数。本质上，三角函数提供了一种强大的工具，能够通过测量角度来间接计算难以直接测量的距离或高度，反之亦然，极大地推动了科学和技术的发展。
总结一下，三角函数是描述角度与边长关系的重要数学工具。它们既可以通过直角三角形中的比值定义，也可以通过单位圆定义，使其适用于任意角度。三角函数具有周期性，特别适合描述自然界中的周期现象。三角函数的发明主要是为了解决天文学、航海、测量学等领域的实际问题。它们为间接测量提供了强大的工具，通过已知的角度计算未知的距离，或通过已知的距离计算未知的角度，从而极大地推动了科学和技术的发展。三角函数的应用范围极其广泛，从古代的天文观测到现代的信号处理，从建筑设计到计算机图形学，都离不开三角函数的支持。