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圆周运动是指物体沿着圆周轨迹进行的运动。在圆周运动中，物体的速度方向不断变化，因此存在加速度。这个加速度指向圆心，称为向心加速度，它改变速度的方向。向心加速度的大小等于速度的平方除以半径，或者角速度的平方乘以半径。根据牛顿第二定律，产生向心加速度的力称为向心力，它也指向圆心。向心力等于质量乘以向心加速度，即质量乘以速度的平方除以半径，或者质量乘以角速度的平方乘以半径。
球绳模型是指一个小球用一根轻绳系住，在竖直平面内绕固定点做圆周运动。绳子只能承受拉力，不能承受压力。在这个模型中，小球受到重力和绳子的拉力，这两个力的合力提供向心力。在最低点，拉力和重力方向相反，拉力等于重力加上向心力，即T等于mg加上mv平方除以r。在最高点，拉力和重力方向相同，拉力等于向心力减去重力，即T等于mv平方除以r减去mg。为了维持圆周运动，绳子必须始终绷紧，即拉力T大于等于0。这个条件在最高点最难满足。在最高点，如果拉力为0，则重力提供向心力，此时速度等于根号下gr，这是小球在最高点维持圆周运动所需的最小速度。如果速度低于这个值，绳子会松弛，小球将脱离圆周轨迹。
现在我们来分析球绳模型在不同初始速度下的运动情况。假设小球从最低点开始运动，有三种情况：情况一，当初始速度小于根号下2gr时，小球无法到达与圆心等高的位置，因为机械能不足以克服重力做功。小球在上升过程中速度减为零，然后沿原路返回，做往复运动。情况二，当初始速度大于等于根号下2gr但小于根号下5gr时，小球可以到达与圆心等高的位置，但无法到达最高点。在到达最高点之前，小球的速度会减小到使绳子拉力为零，绳子松弛，小球脱离圆周轨迹，做斜抛运动。情况三，当初始速度大于等于根号下5gr时，小球能够到达最高点，并且在最高点的速度大于等于根号下gr。绳子始终绷紧，小球可以完成完整的竖直平面圆周运动。根号下5gr是在最低点完成完整圆周运动所需的最小初始速度。这可以通过机械能守恒推导出来：一半质量乘以初始速度的平方等于一半质量乘以最高点速度的平方加上质量乘以重力加速度乘以高度差2r。