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歡迎來到兩樣本變異數比的估計講解。在統計學中，我們經常需要比較兩個群體的變異程度，例如兩個製造過程的穩定性比較，兩種測量方法的精確度比較，或者兩個投資組合的風險比較。這時我們需要估計兩個母體變異數的比值。圖中展示了兩個不同變異數的正態分佈，藍色分佈的變異數較小，紅色分佈的變異數較大，它們的比值是0.22。
在估計兩個母體變異數的比值時，我們使用樣本變異數的比值作為點估計。具體來說，我們用第一個樣本的變異數 s₁² 除以第二個樣本的變異數 s₂²，來估計母體變異數比值 σ₁²/σ₂²。這個估計值的抽樣分佈是基於 F 分佈的。當兩個母體都服從常態分佈時，s₁²/σ₁² 除以 s₂²/σ₂² 服從自由度為 n₁-1 和 n₂-1 的 F 分佈，其中 n₁ 和 n₂ 是兩個樣本的大小。圖中展示了不同自由度的 F 分佈，可以看到隨著第一個自由度的增加，分佈形狀逐漸變得更加集中。
接下來我們來看如何構建變異數比的信賴區間。對於信賴水準 1-α，變異數比的信賴區間公式如圖所示。其中 F_α,v₁,v₂ 是自由度為 v₁ 和 v₂ 的 F 分佈的上側 α 分位數。這個信賴區間的解釋很直觀：如果區間包含 1，表示兩個變異數可能相等；如果區間完全大於 1，表示第一個變異數可能大於第二個變異數；如果區間完全小於 1，表示第一個變異數可能小於第二個變異數。圖中展示了 F 分佈和 95% 信賴區間的構建，綠色區域表示信賴區間，紅色區域表示拒絕域。
讓我們通過一個實例來說明變異數比的估計和信賴區間的計算。假設我們要比較兩種測量方法的精確度。方法1進行了10次測量，樣本變異數為4.5；方法2進行了12次測量，樣本變異數為2.2。變異數比的點估計為4.5除以2.2，約等於2.05。為了構建95%的信賴區間，我們需要計算F分佈的臨界值。經計算，95%信賴區間約為0.57到6.68。由於這個區間包含1，我們沒有足夠的證據表明兩種測量方法的精確度有顯著差異。圖中，紅點表示點估計2.05，綠色區域表示信賴區間，黃線表示變異數相等的參考線。
讓我們總結一下兩樣本變異數比估計的關鍵點。變異數比的點估計是兩個樣本變異數的比值 s₁²/s₂²。這個估計的抽樣分佈是基於 F 分佈的，我們可以使用 F 分佈的臨界值來構建信賴區間。這種統計方法在多個領域有廣泛應用，包括製造過程的質量控制，測量方法的精確度比較，金融投資的風險評估，以及實驗設計的方差分析。需要注意的是，這種方法的一個重要假設是兩個母體都服從常態分佈。如果這個假設不成立，可能需要使用其他非參數方法來比較變異性。