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一元二次方程是代数中的基本方程类型,其标准形式为ax平方加bx加c等于0,其中a不等于0,a、b、c是已知常数,x是未知数。解一元二次方程有三种常用方法:因式分解法、配方法和公式法。图中展示了一个二次函数的图像,其与x轴的交点就是对应一元二次方程的解。
因式分解法是解一元二次方程的基本方法之一,适用于方程左边可以分解为两个一次因式乘积的情况。解题步骤包括:首先,将方程写成标准形式;其次,尝试将左边分解为两个一次因式的乘积;最后,根据零因子法则求解。例如,解方程x平方减5x加6等于0,我们可以将左边分解为(x减2)(x减3)等于0,因此x等于2或x等于3。图中展示了对应函数y等于x平方减5x加6的图像,其与x轴的交点就是方程的解。
配方法是解一元二次方程的另一种方法,通过移项和配方,将方程转化为完全平方式。解题步骤包括:首先,将方程写成标准形式;然后,将二次项系数化为1;接着,移项将常数项放到右边;再配方,在等式两边同时加上适当的常数;将左边写成完全平方式;最后,开平方求解。例如,解方程x平方加4x加3等于0,我们可以通过配方将其转化为(x加2)的平方等于1,因此x等于负1或负3。图中展示了对应函数y等于x平方加4x加3的图像,其与x轴的交点就是方程的解。右下角的图形展示了配方的几何意义,即将x平方加4x加4表示为(x加2)的平方。
公式法是解一元二次方程最直接的方法,对于标准形式ax平方加bx加c等于0的一元二次方程,其解可以直接由公式给出:x等于负b加减b平方减4ac的平方根,再除以2a。其中,b平方减4ac称为判别式,用希腊字母Δ表示。根据判别式的值,有三种情况:若Δ大于0,方程有两个不相等的实数解;若Δ等于0,方程有两个相等的实数解;若Δ小于0,方程没有实数解。例如,解方程2x平方减4x减3等于0,我们有a等于2,b等于负4,c等于负3,计算得到判别式Δ等于40,因此方程有两个不相等的实数解,分别约为2.58和负0.58。图中展示了对应函数y等于2x平方减4x减3的图像,其与x轴的交点就是方程的解。
让我们比较一下三种解一元二次方程的方法。因式分解法计算简单直观,但只适用于能够因式分解的情况;配方法适用性广,有几何意义,但计算过程较繁琐;公式法适用于所有情况,计算直接,但需要记忆公式,计算可能复杂。在实际应用中,建议先尝试因式分解法,特别是系数简单时;若无法因式分解,考虑使用公式法;配方法有助于理解公式的推导过程。右侧流程图展示了解题思路:首先判断方程是否能够因式分解,如果能,则使用因式分解法;如果不能,则使用公式法。下方表格总结了三种方法的适用情况,其中配方法和公式法适用于所有一元二次方程,而因式分解法仅适用于左边可以分解为一次因式乘积的情况。