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高等数学是大学理工科的基础课程，主要包括以下内容：函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，向量代数与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数，以及常微分方程初步。这些内容构成了微积分的核心，为学习后续专业课程打下了坚实基础。
函数、极限与连续是高等数学的第一部分。函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，包括定义域、值域和各种性质。极限是微积分的核心概念，分为数列极限和函数极限。当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近一个确定的数，这个数就是函数在该点的极限。函数的连续性是指，当自变量的变化量趋于零时，函数值的变化量也趋于零。连续函数在闭区间上具有最大值、最小值定理和介值定理等重要性质。
微分学和积分学是高等数学的核心内容。一元函数微分学研究函数的变化率，导数是其核心概念，表示函数在某点的瞬时变化率，几何上表示为曲线在该点的切线斜率。通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值、凹凸性等性质。一元函数积分学则研究函数的累积变化，包括不定积分和定积分。不定积分是求原函数的过程，而定积分表示函数在区间上的累积量，几何上可以理解为曲线下的面积。微积分基本定理揭示了微分和积分之间的内在联系，是微积分学的核心定理。
多元函数与向量分析是高等数学的进阶内容。向量代数与空间解析几何为多元函数奠定基础，包括向量运算和空间直线与平面方程。多元函数微分学研究多变量函数的变化率，核心概念包括偏导数、全微分、方向导数和梯度。偏导数描述函数沿坐标轴方向的变化率，而梯度则指向函数增长最快的方向。多元函数积分学研究多变量函数的累积变化，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是向量分析中的重要定理，它们揭示了不同类型积分之间的内在联系。
无穷级数和微分方程是高等数学的重要组成部分。无穷级数研究无限多项相加的和，包括数项级数和幂级数。泰勒级数是一种重要的幂级数，它可以将函数表示为幂的无穷和，例如正弦函数可以展开为泰勒级数：sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 - ...，通过取前几项可以得到函数的近似表达式。常微分方程研究含有未知函数及其导数的方程，常见类型包括一阶可分离变量方程、一阶线性方程和二阶常系数线性方程等。微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛应用，如描述物体运动、电路系统、人口增长等现象。高等数学为各学科提供了强大的分析工具，是现代科学技术的基础。