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我们来解决一个关于函数性质的问题。已知函数f(x)等于对数项ln(x除以2减x)加上ax加上b乘以(x减1)的三次方。第一问，若b等于0，且导数f'(x)大于等于0，求a的最小值。
首先，我们确定函数的定义域。对数项要求x除以2减x大于0，解得定义域为开区间0到2。当b等于0时，函数简化为对数项加上ax。计算导数，得到f'(x)等于2除以x乘以2减x，再加上a。根据条件f'(x)大于等于0，我们得到a大于等于负的2除以x乘以2减x。
为了找到a的最小值，我们需要找到函数g(x)等于2除以x乘以2减x在区间0到2上的最小值。通过求导可以证明，g(x)在x等于1处取得最小值，g(1)等于2。因此，a大于等于负2，a的最小值为负2。
第二问，我们需要证明曲线y等于f(x)是中心对称图形。中心对称意味着存在一个点，使得曲线上任意一点关于该点对称的点也在曲线上。
首先，我们猜测对称中心可能在x等于1处。接下来，我们计算f(1+h)和f(1-h)，其中h是一个小的变量。f(1+h)等于对数项加上a乘以1+h加上b乘以h的三次方。f(1-h)等于负的对数项加上a乘以1-h减去b乘以h的三次方。将这两个表达式相加，我们发现对数项和h的三次方项都消去了，得到f(1+h)加f(1-h)等于2a，这是一个常数。
这证明了曲线y等于f(x)关于点(1,a)中心对称。在图上，我们可以看到，如果取曲线上任意一点，比如绿色点，通过对称中心作直线并延长相同距离，得到的另一点也在曲线上。这就验证了曲线的中心对称性。
第三问，若函数f(x)大于负2当且仅当x在1到2之间，求参数b的取值范围。这个条件意味着当x在0到1之间时，f(x)小于等于负2；当x在1到2之间时，f(x)大于负2。
首先，我们计算函数在x等于1处的值。f(1)等于对数项加上a加上b乘以0，即f(1)等于a。根据条件，当x等于1时，f(x)等于负2，所以a等于负2。接下来，我们分析函数的导数。计算得到f'(x)等于2除以x乘以2减x，减去2，加上3b乘以x减1的平方。整理后，f'(x)等于x减1的平方乘以括号内的表达式。
为了使函数f(x)大于负2当且仅当x在1到2之间，函数必须在整个定义域上是单调的，且在x等于1处取得最小值负2。这要求导数f'(x)在整个定义域上非负。由于x减1的平方在x不等于1时总是正的，所以括号内的表达式必须非负，即2除以x乘以2减x加上3b大于等于0。函数2除以x乘以2减x在区间0到2上的最小值是2，出现在x等于1处。因此，3b大于等于负2，解得b大于等于负2/3。所以b的取值范围是负2/3到正无穷。
在图上，我们可以看到当b等于负2/3时，函数f(x)在x等于1处取得最小值负2。当x小于1时，函数值小于负2；当x大于1时，函数值大于负2。这正好满足题目的条件。如果b大于负2/3，函数仍然满足条件，但如果b小于负2/3，条件就不再满足了。因此，b的取值范围是负2/3到正无穷。
让我们回顾一下这个问题的三个部分及其解答。第一问，当b等于0且导数f'(x)大于等于0时，a的最小值是负2。第二问，我们证明了曲线y等于f(x)关于点(1,a)中心对称。第三问，当函数f(x)大于负2当且仅当x在1到2之间时，b的取值范围是负2/3到正无穷。
在图上，我们可以看到函数的几何特性。当参数b等于负2/3时，函数在x等于1处取得最小值负2，且曲线关于点(1,负2)中心对称。函数在x小于1时值小于负2，在x大于1时值大于负2，正好满足第三问的条件。这个问题展示了函数的导数、对称性和取值范围之间的关系，是高等数学中的一个典型例题。
让我们总结一下这个问题的解题方法和关键点。首先，函数f(x)的定义域是开区间0到2，这是由对数项的限制条件决定的。在第一问中，导数f'(x)的符号决定了函数的单调性，是解决最值问题的关键。我们找到了函数2除以x乘以2减x在定义域上的最小值2，从而确定a的最小值为负2。在第二问中，我们通过证明f(1+h)加f(1-h)等于常数2a，说明曲线关于点(1,a)中心对称。在第三问中，函数取值范围的条件可以转化为函数单调性的条件，即导数在定义域上非负。通过分析，我们得到参数b的取值范围是负2/3到正无穷，这保证了函数满足给定条件。这个问题综合考察了函数的导数、对称性和取值范围等性质，是高等数学中的一个经典例题。