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向量是既有大小又有方向的量。与只有大小的标量不同，向量需要同时指定大小和方向。在图中，我们可以看到两个向量a和b，它们有不同的方向，但恰好具有相同的大小，都等于根号5。这说明即使大小相同，方向不同的向量也是不同的向量。
向量可以用多种方式表示。最直观的是带箭头的线段，从起点指向终点。在坐标系中，我们可以用坐标对来表示向量，例如向量v可以表示为(2,1)，这表示从原点出发，沿x轴正方向移动2个单位，再沿y轴正方向移动1个单位。我们也可以用分量表示，即2i加1j，其中i和j分别是x轴和y轴上的单位向量。
向量的基本运算包括向量加法、向量减法和标量乘法。向量加法可以通过平行四边形法则来理解：将两个向量a和b放置在同一起点，然后构建一个以这两个向量为邻边的平行四边形，从起点到对角顶点的向量就是它们的和。向量减法可以理解为加上另一个向量的负向量。标量乘法则是将向量的长度按比例缩放，例如2a表示方向相同但长度是a的两倍的向量。
向量还有两种重要的乘法运算：点积和叉积。点积，也称为内积，是两个向量的长度乘积再乘以它们夹角的余弦值。点积的结果是一个标量，可以用来计算两个向量的夹角，或一个向量在另一个向量方向上的投影。叉积，也称为外积，结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，大小等于以这两个向量为边的平行四边形的面积。叉积在物理和工程中有广泛应用，例如计算力矩和角动量。
向量在各个领域都有广泛的应用。在物理学中，力、速度、加速度等物理量都是向量，它们既有大小又有方向。例如，当多个力作用在一个物体上时，我们可以通过向量加法计算合力。在数学中，向量是线性代数的基础，也是解析几何的重要工具。在计算机科学中，向量被用于计算机图形学中的三维建模和渲染，以及机器学习中的数据表示。向量的这些应用展示了它作为数学工具的强大功能和灵活性。