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欢迎来到圆锥曲线方程课程。圆锥曲线是平面与圆锥面相交所形成的曲线。根据切割平面的倾斜角度不同，我们可以得到四种基本的圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些曲线在数学、物理和工程领域有着广泛的应用。
我们从最简单的圆开始。圆的定义是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹。设圆心为(h,k)，半径为r，则圆的标准方程是：(x-h)²+(y-k)²=r²。特别地，当圆心在原点时，方程简化为x²+y²=r²。例如，一个圆心在(1,0.5)，半径为1.5的圆，其方程为(x-1)²+(y-0.5)²=(1.5)²。
接下来是椭圆。椭圆的定义是平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于一个常数（大于两焦点间的距离）的点的轨迹。设焦点在x轴上，中心在原点，焦点坐标为(±c,0)，常数为2a，则椭圆的标准方程是：x²/a² + y²/b² = 1，其中b² = a² - c²。椭圆的重要特征包括长轴2a、短轴2b、焦点F₁和F₂，以及对于椭圆上任意一点P，都满足|PF₁| + |PF₂| = 2a。
接着是抛物线。抛物线的定义是平面内到一定点（焦点）的距离等于到一定直线（准线）的距离的点的轨迹。设焦点在x轴正半轴上，坐标为(p,0)，准线方程为x=-p，则抛物线的标准方程是：y²=4px。抛物线的重要特征包括顶点O、焦点F、准线和对称轴。对于抛物线上任意一点P，都满足|PF|=|PD|，即点到焦点的距离等于点到准线的距离。
最后是双曲线。双曲线的定义是平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于一个常数（小于两焦点间的距离）的点的轨迹。设焦点在x轴上，中心在原点，焦点坐标为(±c,0)，常数为2a，则双曲线的标准方程是：x²/a² - y²/b² = 1，其中b² = c² - a²。双曲线的重要特征包括实轴、顶点A₁和A₂、焦点F₁和F₂，以及渐近线y = ±(b/a)x。对于双曲线上任意一点P，都满足||PF₂| - |PF₁|| = 2a。