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动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。它的核心是将一个大问题分解成若干个相互重叠的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算。动态规划通常按照一定的顺序求解子问题，最终得到原问题的解。这种方法在许多领域都有广泛应用，比如最短路径问题、背包问题和序列对齐等。
动态规划适用于具有特定特性的问题。首先是最优子结构，即问题的最优解包含子问题的最优解。其次是重叠子问题，相同的子问题会被多次计算，如果不存储中间结果，会导致大量重复计算。以斐波那契数列为例，计算F(5)时，F(2)会被重复计算多次，这些重复计算用红色标记。最后是无后效性，即一旦某状态确定，后续的决策不会改变前面阶段的状态。这些特性使得动态规划成为解决特定问题的强大工具。
动态规划的解题过程通常遵循五个基本步骤。首先是定义状态，确定如何用变量表示子问题。以爬楼梯问题为例，我们可以定义dp[n]表示爬到第n级台阶的方法数。第二步是找出状态转移方程，确定子问题之间的关系。在这个例子中，dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，因为爬到第n级的方法数等于爬到第n-1级的方法数加上爬到第n-2级的方法数。第三步是确定基本情况，即dp[1]=1和dp[2]=2。第四步是确定计算顺序，通常是自底向上。最后是实现代码，将前面的分析转化为程序。通过这五个步骤，我们可以系统地解决动态规划问题。
动态规划在计算机科学和数学中有许多经典应用。首先是背包问题，特别是0-1背包问题，它要求在限制总重量的情况下，从一组物品中选择一些放入背包，使得总价值最大化。这里我们展示了一个简单的例子，有四个物品和一个容量为8的背包。通过构建动态规划表，我们可以找到最优解。第二个经典问题是最长公共子序列，它寻找两个序列中共同出现的最长子序列。第三个是最短路径问题，如Floyd-Warshall算法，用于找出图中所有点对之间的最短路径。第四个是矩阵链乘法问题，它寻找乘法顺序以最小化计算量。这些问题都展示了动态规划的强大能力。
总结一下，动态规划是一种强大的算法设计技术，通过将复杂问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算。它特别适用于具有最优子结构和重叠子问题特性的问题。动态规划的解题步骤包括定义状态、找出状态转移方程、确定基本情况、确定计算顺序和实现代码。经典应用包括背包问题、最长公共子序列、最短路径问题和矩阵链乘法等。与简单递归相比，动态规划通过存储中间结果大大提高了算法效率，避免了指数级的时间复杂度。掌握动态规划思想对于解决复杂优化问题非常重要。