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多元函数的偏导数是函数对其中一个自变量求导，而将其他自变量视为常数时得到的导数。以二元函数为例，如果我们有函数z等于f(x,y)，那么它的偏导数表示函数在某一点沿x轴或y轴方向的变化率。在图中，我们可以看到一个二元函数z等于x平方加y平方的三维曲面，以及曲面上的点P。
偏导数的数学定义是一个极限。对于函数f(x,y)，关于x的偏导数定义为：当Δx趋近于0时，[f(x+Δx,y) - f(x,y)]除以Δx的极限。类似地，关于y的偏导数是当Δy趋近于0时，[f(x,y+Δy) - f(x,y)]除以Δy的极限。计算偏导数的方法很简单：将其他变量视为常数，然后按照普通导数的规则求导。在图中，我们看到了函数f(x,y)=x²+y²在y=1时的截面曲线，以及在点P(1,1,2)处的切线。这条切线的斜率就是函数在该点关于x的偏导数，计算得到∂f/∂x(1,1)=2。
偏导数的几何意义非常直观。对于二元函数z=f(x,y)，它的图像是一个三维曲面。在曲面上的某一点，比如P(1,1,2)，关于x的偏导数∂f/∂x表示曲面在该点沿x方向的切线斜率。这条切线位于与xz平面平行且通过点P的截面上。类似地，关于y的偏导数∂f/∂y表示曲面在该点沿y方向的切线斜率，它位于与yz平面平行且通过点P的截面上。在我们的例子中，函数f(x,y)=x²+y²在点(1,1)处的两个偏导数都等于2，这意味着曲面在该点沿x方向和y方向的切线斜率都是2。
让我们通过一个具体的例子来计算偏导数。考虑函数f(x,y) = x²y + xy²。要计算关于x的偏导数，我们将y视为常数，然后对x求导。首先，将函数拆分为x²y和xy²两部分。对于x²y，我们有y乘以x²的导数，得到2xy。对于xy²，我们有y²乘以x的导数，得到y²。因此，∂f/∂x = 2xy + y²。类似地，要计算关于y的偏导数，我们将x视为常数，然后对y求导。对于x²y，我们有x²乘以y的导数，得到x²。对于xy²，我们有x乘以y²的导数，得到2xy。因此，∂f/∂y = x² + 2xy。在点(1,1)处，∂f/∂x = 2·1·1 + 1² = 3，∂f/∂y = 1² + 2·1·1 = 3。
总结一下，偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，计算时将其他变量视为常数。它的几何意义是表示曲面在某点沿特定坐标轴方向的切线斜率。计算偏导数的方法很简单：将其他变量视为常数，然后按照普通导数的规则求导。偏导数在许多领域都有重要应用，包括热传导、流体力学、经济学和机器学习等。此外，偏导数是梯度、方向导数和多元函数微分学的基础，对于理解更复杂的微积分概念至关重要。