请生成讲解该题目的视频---**Problem 13** **Question Stem:** 设 a, b 为有理数，方程 ||x - a| - b| = 3 有三个互不相等的解，求 b 的值. **Translation:** Let a, b be rational numbers. The equation ||x - a| - b| = 3 has three distinct unequal solutions. Find the value of b. **Mathematical Equation:** ||x - a| - b| = 3 **Condition:** The equation has three distinct unequal solutions.

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在这个问题中，我们需要找出有理数b的值，使得方程||x - a| - b| = 3有三个互不相等的解。首先，让我们理解这个方程的结构。这是一个嵌套的绝对值方程，我们需要分析它的性质。绝对值方程通常可以分解为多个情况，取决于内部表达式的正负性。我们将在下一步中详细分析这个方程。 现在，让我们分解原方程||x - a| - b| = 3。根据绝对值的定义，我们可以将其分为两种情况：|x - a| - b = 3或者|x - a| - b = -3。整理后得到两个方程：|x - a| = b + 3，我们称之为方程1；以及|x - a| = b - 3，我们称之为方程2。这两个方程的解集合起来就是原方程的所有解。在图中，我们可以看到|x - a|的图像与水平线b + 3和b - 3的交点，这些交点就是原方程的解。 现在，让我们分析绝对值方程的解的数量。对于形如|y| = k的方程，如果k大于0，有两个解：y = k或y = -k；如果k等于0，有一个解：y = 0；如果k小于0，则无解。应用到我们的方程|x - a| = b + 3和|x - a| = b - 3，我们需要考虑b + 3和b - 3的符号。由于原方程有三个互不相等的解，方程1和方程2的解的总数必须是3。从表格中我们可以看到，当b + 3大于0且b - 3等于0时，方程1有两个解，方程2有一个解，总共正好是3个解。 现在，让我们求解b的值。我们考虑两种可能的情况。情况1：方程1有两个解，方程2有一个解。这要求b + 3大于0且b - 3等于0。从b - 3等于0，我们得到b等于3。验证b + 3大于0：3 + 3等于6，确实大于0，条件满足。情况2：方程1有一个解，方程2有两个解。这要求b + 3等于0且b - 3大于0。从b + 3等于0，我们得到b等于-3。验证b - 3大于0：-3 - 3等于-6，小于0，不满足条件。因此，情况2不可能发生。所以，b等于3是唯一可能的解。在图中，我们可以看到当b等于3时，方程有三个互不相等的解：x等于a - 6，x等于a，和x等于a + 6。 让我们总结一下解题过程。首先，我们将原方程||x - a| - b| = 3分解为两个方程：|x - a| = b + 3和|x - a| = b - 3。由于原方程有三个互不相等的解，这意味着这两个方程的解的总数必须是3。我们分析了两种可能的情况：情况1是方程1有两个解，方程2有一个解；情况2是方程1有一个解，方程2有两个解。通过计算，我们发现只有情况1是可能的，即b = 3。此时，方程1的解是x = a - 6和x = a + 6，方程2的解是x = a。这三个解是互不相等的，满足题目要求。因此，b的值是3。