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导函数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。从数学定义上看，导函数f'(x)是原函数f(x)在任意点x处的导数，表示为当h趋近于零时，函数值的变化与自变量的变化之比的极限。从几何角度看，导函数在某点的值就是函数图像在该点处的切线斜率。以函数f(x)=x²为例，在点x₀处的导数f'(x₀)就是该点切线的斜率，等于2x₀。
导函数的计算有一系列基本公式和法则。常见的导数公式包括：幂函数的导数是指数乘以底数的幂减一次方；三角函数正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦；指数函数e的x次方的导数仍然是它自己；自然对数的导数是一除以x。此外，还有几个重要的求导法则：和差法则、乘积法则和商法则。图中展示了函数f(x)=sin x及其导函数f'(x)=cos x的图像，可以看到，当正弦函数在最高点或最低点时，其导数即余弦函数的值为零，表示此时函数的变化率为零。
导函数与原函数的性质有着密切的关系。首先是单调性：当导函数大于零时，原函数单调递增；当导函数小于零时，原函数单调递减。其次是极值点：当导函数等于零且二阶导数小于零时，该点是极大值点；当导函数等于零且二阶导数大于零时，该点是极小值点。最后是凹凸性：当二阶导函数大于零时，原函数向上凹；当二阶导函数小于零时，原函数向下凹。以函数f(x)=x³-3x为例，其导函数f'(x)=3x²-3。当x=-1时，f'(x)=0且f''(x)<0，所以x=-1是极大值点；当x=1时，f'(x)=0且f''(x)>0，所以x=1是极小值点。
导函数在实际应用中有着广泛的用途。主要应用包括：求函数的极值、求曲线的切线方程、分析函数的增减性、解决优化问题、计算物理中的速度和加速度，以及经济学中的边际分析等。让我们通过一个优化问题来说明导函数的应用：假设有一条长度为L的线段，要将其分成两段，使得这两段的乘积最大。设第一段长度为x，则第二段长度为L-x，乘积函数为f(x)=x(L-x)=Lx-x²。求导得f'(x)=L-2x，令f'(x)=0，解得x=L/2。通过二阶导数判别法可以验证这是极大值点。因此，当线段被等分为两段时，乘积最大，最大值为L²/4。这个结论在几何上也很直观：当我们用这两段线段构成一个矩形时，正方形的面积最大。
总结一下，导函数是描述函数在某一点附近变化率的函数，它的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。通过导函数，我们可以分析原函数的单调性、极值点和凹凸性等重要性质。在计算导函数时，我们可以利用各种常见的导数公式和求导法则，如幂函数、三角函数、指数函数的导数公式，以及和差法则、乘积法则和商法则等。导函数在科学研究、工程技术和经济分析等众多领域都有着广泛的应用，是微积分中最基础也是最重要的概念之一。