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导函数是微积分中的核心概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。从数学上看，导函数定义为一个极限：当自变量的变化量趋近于零时，函数值的变化量与自变量变化量之比的极限。从几何上看，导数是函数图像在该点切线的斜率。在物理学中，如果函数表示物体运动的路程关于时间的关系，那么导数就表示物体的瞬时速度。
导函数的计算有许多基本规则。首先是基本导数公式，如常数的导数为零，幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n-1次方，三角函数、指数函数和对数函数也有各自的导数公式。其次是四则运算法则，包括和差的导数、常数乘积的导数、乘积的导数和商的导数。最重要的是链式法则，用于计算复合函数的导数：外层函数的导数乘以内层函数的导数。图中展示了函数f(x)和g(x)及其乘积h(x)，乘积的导数需要应用乘法法则。
导函数有许多重要应用。首先，通过导数的符号可以判断函数的单调性：当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。其次，导数可以帮助我们求函数的极值：当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数有极大值；当一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数有极小值。此外，二阶导数的符号可以判断函数的凹凸性：二阶导数大于零时函数图像向上凹，小于零时向下凹。当二阶导数为零且在该点两侧变号时，函数有拐点。图中的函数f(x)=x³-3x在x=-1处有极大值，在x=1处有极小值，在x=0处有拐点。
导函数有两个重要定理。第一个是罗尔定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间两端点的函数值相等，那么在开区间内至少存在一点，使得导数等于零。几何上看，这意味着如果曲线的两个端点高度相同，那么中间至少有一点的切线是水平的。第二个是拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得导数等于区间两端点的函数值之差除以自变量之差。几何上看，这意味着在曲线上至少存在一点，其切线与连接两端点的割线平行。这两个定理是微积分中的基本定理，为函数性质分析提供了理论基础。
总结一下导函数的核心知识点：导函数表示函数在某一点的瞬时变化率，几何上表现为函数图像在该点的切线斜率。计算导函数需要掌握基本导数公式和运算法则，包括四则运算法则和链式法则。导函数的主要应用包括判断函数的单调性、求极值、分析凹凸性和寻找拐点。罗尔定理和拉格朗日中值定理是导数理论的重要基础，为函数性质分析提供了理论支持。导函数在物理学、经济学、工程学等众多领域都有广泛应用，是微积分中最基础也是最重要的概念之一。