怎么做上述题目---**Question:** 满分 8 分. 设函数 f(x) 的定义域为 $[1, a^2]$, 其中常数 $a > 1$. 若存在常数 $T > 0$, 使得对任意的 $x \in [1, a]$, 都有 $f(ax) = T \cdot f(x)$, 则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P$. (1) 当 $x \in [1, 100]$ 时, 判断函数 $y = x^2$ 和 $y = \cos \pi x$ 是否具有性质 $P$? (结论不要要求证明) (2) 若 $a=3$, 函数 $f(x)$ 具有性质 $P$, 且当 $x \in [1, 3]$ 时, $f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{6} x \right)$, 求不等式 $f(x) > \sqrt{3}$ 的解集; (3) 已知函数 $f(x)$ 具有性质 $P$, $f(1) = 0$, 且 $f(x)$ 的图像是轴对称图形. 若 $f(x)$ 在 $[1, a]$ 上有最大值 $A (A>0)$, 且存在 $x_0 \in \left[ a + \frac{1}{a} - 1, a \right]$ 使得 $f(x_0) = A$, 求证: 其对应的 $T=1$. **Other Relevant Text:** 4

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我们来研究一个特殊的函数性质。设函数f(x)的定义域为[1, a²]，其中常数a大于1。若存在常数T大于0，使得对任意的x属于[1, a]，都有f(ax)等于T乘以f(x)，则称函数f(x)具有性质P。这个性质描述了函数在不同区间上的一种比例关系。 我们来判断两个函数是否具有性质P。首先是函数y等于x平方，当x属于区间[1,100]时。我们计算得到a等于10。对于任意x属于[1,10]，f(10x)等于100x平方，等于100乘以f(x)。取T等于100大于0，满足性质P的定义。因此，函数y等于x平方具有性质P。接下来是函数y等于余弦πx。同样a等于10。我们需要检查是否存在常数T大于0，使得对任意x属于[1,10]，f(10x)等于T乘以f(x)。取x等于1，f(10)等于余弦10π等于1，f(1)等于余弦π等于-1。若存在T大于0，则1等于T乘以-1，这导致T等于-1，与T大于0矛盾。因此，函数y等于余弦πx不具有性质P。 现在我们来解决第二个问题。已知a等于3，函数f(x)具有性质P，且当x属于区间[1,3]时，f(x)等于正弦πx除以6。我们需要求解不等式f(x)大于根号3的解集。首先，我们确定函数的表达式。由于a等于3，函数的定义域是[1,9]。当x属于[1,3]时，f(x)等于正弦πx除以6。当x属于[3,9]时，我们令x等于3y，则y属于[1,3]。根据性质P，f(x)等于f(3y)等于T乘以f(y)。接下来，我们求常数T。取x等于1，则f(3)等于T乘以f(1)。代入得到正弦π除以2等于T乘以正弦π除以6，即1等于T乘以二分之一，解得T等于2。因此，当x属于[3,9]时，f(x)等于2乘以正弦πx除以18。现在我们求解不等式f(x)大于根号3。当x属于[1,3]时，f(x)的最大值是1，小于根号3，所以没有解。当x属于[3,9]时，不等式变为2乘以正弦πx除以18大于根号3，即正弦πx除以18大于根号3除以2。由于根号3除以2等于正弦π除以3，所以πx除以18大于π除以3，解得x大于6。综合定义域[3,9]，不等式f(x)大于根号3的解集为开区间6到闭区间9，即(6,9]。 现在我们来证明第三个问题。已知函数f(x)具有性质P，f(1)等于0，且f(x)的图像是轴对称图形。若f(x)在区间[1,a]上有最大值A，且A大于0，并且存在x₀属于区间[a加1/a减1,a]使得f(x₀)等于A，求证其对应的T等于1。首先，我们分析已知条件。由f(1)等于0和性质P，我们可以得到f(a)等于T乘以f(1)等于0。由于f(x)的图像是轴对称的，且定义域是[1,a²]，所以对称轴为x等于(1+a²)/2。已知f(x)在[1,a]上的最大值为A，且A大于0。接下来，我们分析f(x)在区间[a,a²]上的最大值。对于任意x属于[a,a²]，存在y属于[1,a]使得x等于ay。由性质P，f(x)等于f(ay)等于T乘以f(y)。设A_max是f(x)在[a,a²]上的最大值，则A_max等于T乘以A。然后，我们利用对称性。设x₁等于1+a²-x₀，由对称性，f(x₁)等于f(x₀)等于A。由于x₁属于(a,a²]，所以f(x₁)小于等于A_max，即A小于等于A_max。考虑点ax₀，f(ax₀)等于T乘以f(x₀)等于T乘以A。设x₂等于1+a²-ax₀，由对称性，f(x₂)等于f(ax₀)等于T乘以A。由于x₂属于[1,a]，所以f(x₂)小于等于A，即T乘以A小于等于A。结合A_max等于T乘以A，A小于等于A_max，和A_max小于等于A，我们得到A等于A_max等于T乘以A。由于A大于0，所以T等于1。证毕。 让我们总结一下函数性质P的关键点。性质P描述了函数在不同区间上的一种比例关系，即对任意x属于[1,a]，都有f(ax)等于T乘以f(x)。我们发现幂函数y等于x的n次方具有性质P，其中T等于a的n次方。而三角函数则需要满足特定条件才具有性质P，例如我们证明了函数y等于x平方具有性质P，而函数y等于余弦πx不具有性质P。当函数图像关于x等于(1+a²)/2对称且满足特定条件时，我们证明了T等于1。性质P可以帮助我们求解函数在扩展区间上的表达式，例如我们利用性质P求出了函数在[3,9]上的表达式，并解决了不等式f(x)大于根号3的解集为(6,9]。这种性质在数学分析和函数研究中有重要应用。