请一个帅气的男老师帮我详细见解解题过程---**Question Number:** 9 **Preamble:** (仙桃中考) 已知关于 x 的一元二次方程 x² + (2m + 1)x + m² - 2 = 0. (Xiantao Middle School Entrance Exam) Given the quadratic equation in x: x² + (2m + 1)x + m² - 2 = 0. **Options:** A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 **Sub-questions related to the equation x² + (2m + 1)x + m² - 2 = 0:** **(1)** 若该方程有两个实数根, 求 m 的最小整数值; (If the equation has two real roots, find the minimum integer value of m;) **(2)** 若方程的两个实数根为 x₁, x₂, 且 (x₁ - x₂)² + m² = 21, 求 m 的值. (If the two real roots of the equation are x₁ and x₂, and (x₁ - x₂)² + m² = 21, find the value of m.)

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

大家好！今天我们来解决一道关于一元二次方程的题目。已知方程为x平方加上2m加1乘以x，再加上m平方减2等于0。第一问，如果该方程有两个实数根，求m的最小整数值。第二问，如果方程的两个实数根为x₁和x₂，且x₁减x₂的平方加上m的平方等于21，求m的值。我们先来分析第一问。 让我们来解决第一问。要判断方程有两个实数根，我们需要判别式大于等于零。对于一元二次方程ax平方加bx加c等于0，判别式Δ等于b的平方减4ac。代入我们的方程，a等于1，b等于2m加1，c等于m的平方减2。计算判别式，我们得到Δ等于4m加9。要使Δ大于等于零，我们需要4m加9大于等于0，解得m大于等于负9/4，即负2.25。因此，m的最小整数值是负2。 现在我们来解决第二问。已知方程的两个实数根为x₁和x₂，且(x₁-x₂)²加m²等于21，求m的值。首先，根据韦达定理，我们知道x₁加x₂等于负(2m+1)，x₁乘x₂等于m²-2。接下来，我们计算(x₁-x₂)²。(x₁-x₂)²等于(x₁+x₂)²减4x₁x₂。代入韦达定理得到的结果，我们得到(x₁-x₂)²等于4m+9。根据题目条件，(x₁-x₂)²+m²=21，代入得到(4m+9)+m²=21。整理得到m²+4m-12=0。因式分解得到(m+6)(m-2)=0，所以m=-6或m=2。但是我们需要检验这两个值是否满足方程有实数根的条件。m=-6小于-2.25，不满足条件；m=2大于-2.25，满足条件。因此，m=2是我们要求的值。 让我们总结一下这道题的解题过程。对于一元二次方程x平方加(2m+1)x加m平方减2等于0，第一问要求方程有两个实数根时m的最小整数值。我们通过判别式得到m大于等于负9/4，因此m的最小整数值是负2。第二问要求当(x₁-x₂)²加m²等于21时，求m的值。我们先利用韦达定理计算出(x₁-x₂)²等于4m+9，然后代入条件解得m²+4m-12=0，得到m等于负6或2。经过检验，只有m=2满足方程有实数根的条件。因此，最终答案是m=2，对应选项A。 最后，让我们总结一下这道题的解题方法和关键点。首先，一元二次方程的判别式Δ等于b平方减4ac，它决定了方程根的性质。当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根。其次，韦达定理告诉我们，两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。在第二问中，我们用到了(x₁-x₂)²等于(x₁+x₂)²减4x₁x₂这个关键公式。最后，解含参数的方程时，我们必须检验所得的解是否满足题目的所有条件。通过这些方法，我们成功解决了这道一元二次方程的问题，得到最终答案m等于2，对应选项A。