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三角函数是数学中的一类重要函数，它们具有周期性和有界性等特点。最基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在这个图像中，蓝色曲线表示正弦函数y等于sin x，红色曲线表示余弦函数y等于cos x。它们的图像都是波浪形的，周期为2π。正弦函数和余弦函数的图像形状相同，只是有π/2的相位差。正弦函数在0处的值为0，而余弦函数在0处的值为1。
接下来我们来看正切函数和三角函数的主要性质。正切函数y等于tan x的图像如图所示，它是一条在x等于正负π/2处有垂直渐近线的曲线。三角函数具有以下重要性质：首先是周期性，正弦和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。其次是有界性，正弦和余弦函数的值域都是[-1,1]，而正切函数的值域是整个实数集。第三是奇偶性，正弦和正切函数是奇函数，即f(-x)等于-f(x)；而余弦函数是偶函数，即f(-x)等于f(x)。这些性质对于理解和应用三角函数非常重要。
三角函数的图像可以通过参数变换得到各种不同形式。一般地，我们可以将正弦函数表示为y等于A乘以sin(ωx加φ)加B的形式。其中，A表示振幅，决定了波形的高度；ω是角频率，影响函数的周期，周期等于2π除以ω；φ是相位，表示图像沿x轴的平移；B是偏距，表示图像沿y轴的平移。在图中，蓝色曲线是基本的正弦函数；红色曲线是振幅变为2的正弦函数；绿色曲线是角频率变为2的正弦函数，其周期减半；紫色曲线是向上平移1个单位的正弦函数。通过这些参数的组合，可以得到各种不同形状的三角函数图像。
三角函数可以通过单位圆来直观理解。在单位圆中，我们从正x轴开始，逆时针旋转角度θ，得到圆上的点P。这个点的坐标恰好是(cosθ, sinθ)。也就是说，点P的x坐标就是cosθ，y坐标就是sinθ。而tanθ则等于sinθ除以cosθ，几何上表示为点P到原点连线的斜率。这种表示方法不仅直观地展示了三角函数的几何意义，还清晰地说明了为什么正弦和余弦函数的值域是[-1,1]，以及为什么它们的周期是2π。当角度θ增加2π时，点P恰好在圆上转了一整圈，回到原来的位置，因此函数值重复。
让我们总结一下三角函数的图像与性质。三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们最初用于描述直角三角形中角度与边长的关系。正弦和余弦函数的图像是波浪形的，周期为2π，值域为[-1,1]；而正切函数的图像有垂直渐近线，周期为π，值域为整个实数集。通过参数变换，我们可以改变三角函数图像的振幅、周期、相位和偏距，得到各种不同形状的图像。单位圆提供了理解三角函数几何意义的直观方法，它清晰地展示了三角函数的周期性、有界性等性质。这些知识在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。