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极限是微积分的基础概念，用于描述函数在自变量趋近某个值时的行为。数学上，我们用符号lim x趋近于a时f(x)等于L来表示，这意味着当x无限接近a但不等于a时，函数值f(x)无限接近于L。在图中，我们可以看到，当x趋近于点a时，函数f(x)趋近于点f(a)。理解极限概念对学习微积分至关重要。
求极限的第一种方法是直接代入法。当函数在趋近点连续时，可以直接将趋近值代入函数求极限。例如，当x趋近于2时，x平方加3x的极限等于2的平方加3乘以2，得到10。第二种方法是因式分解法，适用于出现0除以0型不定式的情况。例如，当x趋近于3时，x平方减9除以x减3的极限，可以将分子因式分解为(x-3)(x+3)，约去公因式x-3后，极限等于x+3在x等于3时的值，即6。在图中，蓝色曲线表示第一个函数，绿色曲线表示第二个函数，红点表示极限值。
第三种求极限的方法是利用重要极限。在微积分中，有一些基本的重要极限需要记住，例如，当x趋近于0时，sin x除以x的极限等于1；当x趋近于无穷大时，(1+1/x)的x次方的极限等于自然常数e。第四种方法是洛必达法则，适用于0除以0或无穷除以无穷型不定式。根据洛必达法则，当出现这类不定式时，可以对分子分母分别求导后再求极限。例如，当x趋近于0时，sin x除以x的极限，可以应用洛必达法则，得到cos x除以1的极限，即cos 0，等于1。图中蓝色曲线展示了函数sin x除以x，可以看到当x趋近于0时，函数值趋近于1。
第五种求极限的方法是无穷大比较法，适用于变量趋向无穷大的情况。这种方法通过比较分子分母中各项的增长速度来确定极限。例如，当x趋近于无穷大时，(3x²+2x+1)除以(5x²-x+7)的极限，可以将分子分母同除以最高次项x²，得到(3+2/x+1/x²)除以(5-1/x+7/x²)，当x趋向无穷大时，分数趋近于3/5。第六种方法是夹逼定理，也称为三明治定理。如果函数f(x)被两个函数g(x)和h(x)夹在中间，即g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也等于L。图中展示了一个夹逼定理的例子，蓝色曲线f(x)=cos x除以(1+x)被绿色曲线g(x)=1除以(1+x)和红色曲线h(x)=-1除以(1+x)夹在中间，当x趋向无穷大时，三个函数的极限都等于0。
让我们总结一下求极限的常用方法。第一种是直接代入法，适用于函数在趋近点连续的情况，直接将趋近值代入函数即可。第二种是因式分解法，用于处理0除以0型不定式，通过因式分解约去公因式后再求极限。第三种是利用重要极限，如sin x除以x等于1等基本极限公式。第四种是洛必达法则，适用于0除以0或无穷除以无穷型不定式，对分子分母分别求导后再求极限。第五种是无穷大比较法，通过比较分子分母中各项的增长速度确定极限。第六种是夹逼定理，利用函数不等式关系确定极限。第七种是泰勒展开法，将函数展开为幂级数来求极限。掌握这些方法，可以解决大多数极限问题。