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已知直线M、N，平面α、β，若α平行于β，M在平面α上，N在平面β上，则直线M与N的关系是什么？让我们来分析这个问题。首先，我们知道平面α平行于平面β，这意味着这两个平面没有交点。
首先，我们来看第一种情况：直线M与N平行。当两条直线平行时，它们的方向向量相同。在这个例子中，直线M位于平面α上，而直线N位于平面β上，它们具有相同的方向。我们可以看到，这两条直线永远不会相交，因为它们所在的平面是平行的，没有交点。
现在，我们来看第二种情况：直线M与N异面。异面直线是指不平行且不相交的直线。在这个例子中，直线M位于平面α上，而直线N位于平面β上，它们的方向向量不同。由于平面α与平面β平行且不重合，所以直线M与N不可能相交。同时，由于它们的方向向量不同，所以它们也不平行。因此，直线M与N是异面直线。
现在，我们来证明为什么直线M与N不可能相交。假设直线M与N相交于某点P，那么点P将同时位于平面α和平面β上。这意味着平面α和平面β有一个公共点P。但是，我们已知平面α平行于平面β，平行平面没有公共点。这导致了矛盾。因此，我们的假设不成立，直线M与N不可能相交。所以，直线M与N只能是平行或异面的关系。
让我们总结一下这个问题。已知平面α平行于平面β，直线M在平面α上，直线N在平面β上。我们证明了直线M与N的关系只能是平行或异面。当直线M与N的方向向量相同时，它们是平行的；当方向向量不同时，它们是异面的。由于平面α与平面β平行且不重合，所以它们没有公共点，因此直线M与N不可能相交。这就是我们的结论：直线M与N的关系是平行或异面。