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等比数列是一种特殊的数列,它的特点是从第二项开始,每一项与前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为等比数列的公比,通常用字母r表示。在这个例子中,我们有一个首项为2,公比为1.5的等比数列。可以看到,每一项除以前一项的结果都等于1.5。等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方。
等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方。这个公式允许我们直接计算数列中的任意一项,而不需要知道前面所有的项。在这个例子中,我们有一个首项为3,公比为2的等比数列。使用通项公式,我们可以计算出第一项是3,第二项是6,第三项是12,第四项是24,第五项是48。可以看到,每一项都是前一项的2倍,这验证了我们的公比确实是2。通项公式的推导基于等比数列的定义,即每一项与前一项的比值等于公比r。
等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。当公比r不等于1时,前n项和等于首项a_1乘以1减去r的n次方,再除以1减r。当公比等于1时,前n项和等于n乘以首项a_1。这个公式的推导过程如下:首先,我们写出前n项和S_n的表达式。然后,我们将S_n乘以公比r。接着,我们用第一个式子减去第二个式子,得到S_n减去rS_n等于a_1减去a_1r的n次方。整理后得到S_n乘以1减r等于a_1乘以1减r的n次方。最后,我们解出S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r。在这个例子中,我们有一个首项为2,公比为3的等比数列。使用求和公式,我们可以计算出前5项和为242。
等比数列在现实生活中有许多重要应用。首先是复利计算,用于银行存款和投资收益的计算。复利公式A等于P乘以1加r的n次方,其中P是本金,r是利率,n是时间。例如,1000元以10%的年利率复利增长10年后,将变成2594元。第二个应用是人口增长模型,用于预测按固定比例增长的人口或细菌数量。公式与等比数列的通项公式相似。第三个应用是无限等比数列求和。当公比的绝对值小于1时,无限等比数列的和会收敛到一个有限值,即首项除以1减去公比。这在计算周期性小数、分数展开等方面有重要应用。
让我们总结一下等比数列的关键知识点。等比数列是一种特殊的数列,其特点是从第二项开始,每一项与前一项的比值等于同一个常数,这个常数被称为公比。等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方,这使我们能够直接计算数列中的任意一项。当公比不等于1时,等比数列的前n项和公式是S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r。对于无限等比数列,当公比的绝对值小于1时,其和收敛于a_1除以1减r。等比数列在现实生活中有广泛应用,包括复利计算、人口增长模型、几何问题等多个领域。理解等比数列的性质和公式,对于解决许多数学和实际问题都非常有帮助。