视频字幕
等比数列是一种特殊的数列，它的特点是从第二项开始，每一项与前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。在这个例子中，我们有一个首项为2，公比为1.5的等比数列。可以看到，每一项除以前一项的结果都等于1.5。等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方。
等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方。这个公式允许我们直接计算数列中的任意一项，而不需要知道前面所有的项。在这个例子中，我们有一个首项为3，公比为2的等比数列。使用通项公式，我们可以计算出第一项是3，第二项是6，第三项是12，第四项是24，第五项是48。可以看到，每一项都是前一项的2倍，这验证了我们的公比确实是2。通项公式的推导基于等比数列的定义，即每一项与前一项的比值等于公比r。
等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。当公比r不等于1时，前n项和等于首项a_1乘以1减去r的n次方，再除以1减r。当公比等于1时，前n项和等于n乘以首项a_1。这个公式的推导过程如下：首先，我们写出前n项和S_n的表达式。然后，我们将S_n乘以公比r。接着，我们用第一个式子减去第二个式子，得到S_n减去rS_n等于a_1减去a_1r的n次方。整理后得到S_n乘以1减r等于a_1乘以1减r的n次方。最后，我们解出S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r。在这个例子中，我们有一个首项为2，公比为3的等比数列。使用求和公式，我们可以计算出前5项和为242。
等比数列在现实生活中有许多重要应用。首先是复利计算，用于银行存款和投资收益的计算。复利公式A等于P乘以1加r的n次方，其中P是本金，r是利率，n是时间。例如，1000元以10%的年利率复利增长10年后，将变成2594元。第二个应用是人口增长模型，用于预测按固定比例增长的人口或细菌数量。公式与等比数列的通项公式相似。第三个应用是无限等比数列求和。当公比的绝对值小于1时，无限等比数列的和会收敛到一个有限值，即首项除以1减去公比。这在计算周期性小数、分数展开等方面有重要应用。
让我们总结一下等比数列的关键知识点。等比数列是一种特殊的数列，其特点是从第二项开始，每一项与前一项的比值等于同一个常数，这个常数被称为公比。等比数列的通项公式是a_n等于首项a_1乘以公比r的n-1次方，这使我们能够直接计算数列中的任意一项。当公比不等于1时，等比数列的前n项和公式是S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r。对于无限等比数列，当公比的绝对值小于1时，其和收敛于a_1除以1减r。等比数列在现实生活中有广泛应用，包括复利计算、人口增长模型、几何问题等多个领域。理解等比数列的性质和公式，对于解决许多数学和实际问题都非常有帮助。