一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。它的标准形式是 a x 平方加 b x 加 c 等于0，其中 x 是未知数，a、b、c 是常数，并且 a 不等于0。图中展示了一个简单的二次函数 y 等于 x 平方，它的图像是一条抛物线。
一元二次方程的标准求根公式是 x 等于负 b 加减 b 平方减 4ac 的平方根，再除以 2a。判别式 Δ 等于 b 平方减 4ac，它决定了方程根的情况。当 Δ 大于 0 时，方程有两个不相等的实根，如蓝色曲线所示；当 Δ 等于 0 时，方程有两个相等的实根，如绿色曲线所示；当 Δ 小于 0 时，方程没有实根，如红色曲线所示。图中可以看到，只有当抛物线与 x 轴相交时，对应的方程才有实根。
一元二次方程在现实生活中有广泛的应用。在物理学中，它可以描述抛物运动和自由落体；在经济学中，用于利润最大化和成本最小化问题；在几何学中，用于面积和体积计算；在工程学中，应用于桥梁设计和电路分析等。让我们看一个例题：一个长方形的周长为20米，求面积最大时的长和宽。设长为x，则宽为10减x，面积函数为A等于x乘以10减x，即10x减x平方。通过求导或配方法，我们可以确定当x等于5时，面积达到最大值25平方米。此时长宽都是5米，即最大面积的长方形是正方形。
解一元二次方程有几种常用方法：公式法、因式分解法和配方法。公式法是最通用的方法，直接应用求根公式；因式分解法适用于容易分解的方程；配方法则通过变形为完全平方式来求解。让我们用公式法解方程2x平方减5x减3等于0。首先确定系数a等于2，b等于负5，c等于负3。然后计算判别式Δ等于b平方减4ac，得到49。应用求根公式，x等于负b加减根号Δ除以2a，即5加减7除以4。最终得到两个根：x₁等于3，x₂等于负二分之一。从图中可以看到，这两个点正是抛物线与x轴的交点。
总结一下，一元二次方程的标准形式是ax平方加bx加c等于0，其中a不等于0。求根公式是x等于负b加减b平方减4ac的平方根，再除以2a。判别式Δ等于b平方减4ac，它决定了方程根的情况：大于0有两个不同实根，等于0有两个相等实根，小于0没有实根。解一元二次方程的方法包括公式法、因式分解法和配方法。一元二次方程在物理、经济、几何和工程等多个领域有广泛的应用。