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今天我们将学习如何用五种不同方法分解多项式 x的三次方加7x加8。请注意，原题中的多项式 x的三次方加8x加7 在有理数范围内不可分解，所以我们将分解 x的三次方加7x加8。首先，我们使用综合除法。第一步，寻找有理根。当x等于负1时，代入原多项式得到0，所以x加1是一个因式。第二步，使用综合除法将原多项式除以x加1。得到的商是x的平方减x加8，余数为0。因此，原多项式可以分解为(x加1)乘以(x的平方减x加8)。
方法二，我们使用多项式长除法。首先，我们已经知道x加1是一个因式。接下来，我们使用多项式长除法将原多项式除以x加1。我们将x的三次方加7x加8除以x加1，得到商是x的平方减x加8，余数为0。这个过程类似于我们在小学学习的长除法，但是这里我们处理的是多项式。首先，x的三次方除以x得到x的平方，然后乘以除数x加1得到x的三次方加x的平方，与被除数相减得到负x的平方加7x。接着，负x的平方除以x得到负x，乘以x加1得到负x的平方减x，相减得到8x加8。最后，8x除以x得到8，乘以x加1得到8x加8，相减得到0。因此，原多项式可以分解为(x加1)乘以(x的平方减x加8)。
方法三，我们使用分组分解法。首先，我们将多项式重新组合。我们把x的三次方加7x加8重写为x的三次方加1加7x加7。这样做是为了能够进行分组。接下来，我们将项分组为(x的三次方加1)和(7x加7)。然后，我们分别分解每组。第一组x的三次方加1可以分解为(x加1)乘以(x的平方减x加1)。第二组7x加7可以分解为7乘以(x加1)。现在，我们可以看到两组都有公因式(x加1)，所以我们提取这个公因式，得到(x加1)乘以[(x的平方减x加1)加7]。最后，我们化简第二个因式，得到(x加1)乘以(x的平方减x加8)。这就是原多项式的因式分解结果。
方法四，我们使用待定系数法。首先，我们已经知道x加1是一个因式。接下来，我们假设分解形式为(x加1)乘以(ax的平方加bx加c)。由于原多项式的首项系数是1，所以a等于1。因此，分解形式为(x加1)乘以(x的平方加bx加c)。然后，我们展开右边的表达式，得到x的三次方加(b加1)x的平方加(c加b)x加c。将这个展开式与原多项式x的三次方加7x加8比较系数：x的平方项系数：b加1等于0，解得b等于负1。x项系数：c加b等于7，代入b等于负1，得到c减1等于7，解得c等于8。常数项：c等于8，与前面的结果一致。因此，原多项式可以分解为(x加1)乘以(x的平方减x加8)。
方法五，我们利用韦达定理。首先，我们已经知道x等于负1是一个根，记为r₁。根据韦达定理，对于多项式x的三次方加7x加8，有：r₁加r₂加r₃等于0，r₁r₂加r₁r₃加r₂r₃等于7，负r₁r₂r₃等于8。将r₁等于负1代入方程组：负1加r₂加r₃等于0，解得r₂加r₃等于1。负1乘以r₂加负1乘以r₃加r₂r₃等于7，化简为负(r₂加r₃)加r₂r₃等于7。负(负1)乘以r₂r₃等于8，解得r₂r₃等于8。将r₂加r₃等于1代入第二个方程：负1加r₂r₃等于7，解得r₂r₃等于8，与第三个方程一致。因此，r₂和r₃是二次方程y的平方减y加8等于0的根。最终，原多项式可以分解为(x加1)乘以(x的平方减x加8)。总结一下，我们学习了五种因式分解方法：综合除法、多项式长除法、分组分解法、待定系数法和韦达定理。这些方法都可以用来分解多项式，但在不同情况下，某些方法可能比其他方法更简单或更直观。