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这道题目要求我们求解一个二次函数的表达式。已知二次函数y₁等于x平方加bx加c，其中b和c是实数常数。第一问告诉我们，这个二次函数的图像经过点(0,4)，且对称轴为x等于1。我们需要求出这个二次函数的表达式。
我们来解这道题。首先，二次函数的表达式是y₁等于x平方加bx加c。已知函数图像经过点(0,4)，将x等于0，y等于4代入函数，得到4等于0加0加c，所以c等于4。其次，对于二次函数，对称轴的表达式是x等于负b除以2。已知对称轴是x等于1，所以负b除以2等于1，解得b等于负2。将b等于负2和c等于4代入原函数，得到函数表达式为y₁等于x平方减2x加4。
所以，这个二次函数的表达式是y₁等于x平方减2x加4。
第二问告诉我们，若b平方减c等于0，当x在区间b减3到b之间时，二次函数的最小值为21，求b的值。
我们来解这道题。首先，已知b平方减c等于0，所以c等于b平方。将c等于b平方代入原函数，得到y₁等于x平方加bx加b平方。对于二次函数，对称轴的表达式是x等于负b除以2。我们需要分析对称轴与区间[b减3, b]的位置关系。情况一，如果对称轴在区间左侧，即负b除以2小于b减3，解得b大于2。此时函数在区间上单调递增，最小值在左端点b减3处取得。代入计算得到3b平方减9b加9等于21，整理得b平方减3b减4等于0，解得b等于4或b等于负1。由于b大于2，所以b等于4符合条件。情况二，如果对称轴在区间右侧，即负b除以2大于b，解得b小于0。此时函数在区间上单调递减，最小值在右端点b处取得。代入计算得到3b平方等于21，解得b等于正负根号7。由于b小于0，所以b等于负根号7符合条件。
所以，b的值为4或负根号7。
第三问告诉我们，记关于x的二次函数y₂等于2x平方加x加m，若在第一问的条件下，当x在0到1之间时，总有y₂大于等于y₁，求实数m的最小值。
我们来解这道题。首先，从第一问得到y₁等于x平方减2x加4。第三问中的y₂等于2x平方加x加m。根据题意，当x在0到1之间时，总有y₂大于等于y₁。这个不等式可以写成2x平方加x加m大于等于x平方减2x加4。整理得x平方加3x加m减4大于等于0。设函数h(x)等于x平方加3x加m减4，我们需要在区间[0,1]上h(x)恒大于等于0。h(x)是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x等于负3除以2，即x等于负1.5。由于对称轴在区间[0,1]的左侧，所以h(x)在区间[0,1]上单调递增。因此，h(x)在区间[0,1]上的最小值为左端点处的值，即h(0)。我们需要h(0)大于等于0。h(0)等于m减4，所以m减4大于等于0，即m大于等于4。
所以，实数m的最小值为4。
让我们总结一下这道二次函数问题。第一问利用函数图像经过点(0,4)和对称轴为x等于1这两个条件，求得二次函数的表达式为y₁等于x平方减2x加4。第二问通过分析对称轴与区间[b减3, b]的位置关系，并利用最小值为21的条件，求得b的值为4或负根号7。第三问利用函数不等式y₂大于等于y₁在区间[0,1]上恒成立的条件，求得参数m的最小值为4。这道题综合考查了二次函数的性质和应用，包括对称轴、顶点、最值以及函数不等式等知识点。
让我们总结一下解决二次函数问题的方法。首先，我们可以利用点坐标和对称轴来确定二次函数的表达式。对于二次函数y等于ax平方加bx加c，其对称轴为x等于负b除以2a。通过代入已知点的坐标，我们可以建立方程求解参数a、b和c。其次，在分析函数最值时，我们需要判断对称轴与给定区间的位置关系。如果对称轴在区间内，最值在顶点处取得；如果对称轴在区间外，最值在端点处取得。最后，处理函数不等式时，我们通常将其转化为h(x)大于等于0的形式，然后分析h(x)在区间上的单调性，确定h(x)的最小值点，从而求解参数的取值范围。掌握这些方法，可以帮助我们更有效地解决二次函数的相关问题。