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这道题目要求我们计算函数f的一系列值的和。已知函数f的定义域是实数集，满足函数方程f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y)，且f(1)=1。我们需要求出f(1) + f(2) + ... + f(21) + f(22)的值。解决这类函数方程问题，我们通常需要分析函数的性质，找出递推关系，然后寻找函数值的规律。接下来，我们将一步步分析这个问题。
首先，我们需要确定f(0)的值。将x=0和y=0代入函数方程，得到f(0) + f(0) = f(0)f(0)，即2f(0) = f(0)的平方。这个方程可以变形为f(0)乘以(f(0) - 2) = 0，所以f(0) = 0或f(0) = 2。接下来，我们代入x=0，y为任意值，得到f(y) + f(-y) = f(0)f(y)。如果f(0) = 0，那么f(y) + f(-y) = 0，即f(-y) = -f(y)，函数是奇函数。如果f(0) = 2，那么f(y) + f(-y) = 2f(y)，即f(-y) = f(y)，函数是偶函数。我们需要进一步验证哪种情况是正确的。
现在，我们来建立递推关系。将y=1代入函数方程，得到f(x+1) + f(x-1) = f(x)f(1)。由于f(1) = 1，所以f(x+1) + f(x-1) = f(x)。这是一个重要的递推关系。接下来，我们使用f(0) = 2和这个递推关系来计算函数的值。已知f(1) = 1，我们可以计算f(2)：f(2) + f(0) = f(1)，即f(2) + 2 = 1，所以f(2) = -1。继续计算f(3)：f(3) + f(1) = f(2)，即f(3) + 1 = -1，所以f(3) = -2。依此类推，我们可以计算出f(4) = -1，f(5) = 1，f(6) = 2，f(7) = 1。观察这些值，我们发现函数值呈现周期性，周期为6，序列为(1, -1, -2, -1, 1, 2)。而且，一个周期内函数值的和等于0。
现在，我们来计算所需的和：f(1) + f(2) + ... + f(21) + f(22)。我们已经知道函数值的周期为6，序列为(1, -1, -2, -1, 1, 2)，且一个周期内函数值的和为0。22可以表示为3乘以6加4，即3个完整周期加4项。因此，f(1) + f(2) + ... + f(22) = 3乘以0加上[f(1) + f(2) + f(3) + f(4)]。计算前4项的和：1 + (-1) + (-2) + (-1) = -3。所以，最终结果是-3。答案是A选项。
让我们总结一下这道函数方程题的解题思路。首先，我们分析了函数方程f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y)，通过代入特殊值x=0和y=0，确定f(0)=2，并验证f是偶函数。然后，我们代入y=1，建立了递推关系f(x+1) + f(x-1) = f(x)。利用这个递推关系和已知条件f(1)=1，我们计算出了一系列函数值，发现函数值呈周期性变化，周期为6，序列为(1, -1, -2, -1, 1, 2)，且一个周期内函数值的和为0。最后，我们利用这一周期性质，将求和问题f(1) + f(2) + ... + f(21) + f(22)转化为求3个完整周期的和加上余项之和，即0加上前4项的和-3，得到最终答案-3。这种解题方法体现了函数方程问题的一般思路：寻找特殊值，建立递推关系，发现规律，利用规律求解。