视频字幕
正态分布，也称为高斯分布，是统计学和概率论中最重要的连续概率分布。它的概率密度函数曲线呈现出典型的钟形，完全对称。这种分布在自然界和社会现象中非常常见，例如人的身高、测量误差、考试成绩等都近似服从正态分布。正态分布由两个参数决定：均值μ和标准差σ。均值决定了分布的中心位置，而标准差则决定了分布的离散程度。
正态分布由两个参数完全决定：均值μ和标准差σ。均值决定了分布的中心位置，改变均值会使曲线沿横轴左右移动。标准差决定了分布的离散程度或'胖瘦'。标准差越大，曲线越平坦、越宽，表示数据越分散；标准差越小，曲线越高、越窄，表示数据越集中。在图中，蓝色曲线是标准差为1的标准正态分布，绿色曲线是标准差为2的正态分布，更加平坦宽广，而红色曲线是标准差为0.5的正态分布，更加高窄集中。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的特殊正态分布。在正态分布中，有一个非常重要的统计规律，称为68-95-99.7法则，也叫经验法则。这个法则告诉我们：约68%的数据落在均值左右一个标准差的范围内，即μ±1σ；约95%的数据落在均值左右两个标准差的范围内，即μ±2σ；约99.7%的数据落在均值左右三个标准差的范围内，即μ±3σ。这一法则在统计推断和数据分析中非常有用，它帮助我们理解数据的分布特性，并对异常值进行判断。
中心极限定理是正态分布如此重要的关键原因。这个定理表明，大量相互独立、同分布的随机变量之和（或平均值）的分布趋向于正态分布，无论原始变量的分布是什么形式。这意味着，当我们对大量样本取平均值时，这些平均值的分布会近似服从正态分布。在图中，我们可以看到随着样本量n的增加，分布形状逐渐从均匀分布变为三角形分布，然后越来越接近钟形的正态分布。这就是为什么正态分布在统计推断中扮演核心角色，因为许多统计量在大样本条件下都近似服从正态分布。
总结一下，正态分布是统计学中最基础和最常用的分布之一。许多自然现象和社会现象都近似服从正态分布，例如人的身高、体重、测量误差、考试成绩等。中心极限定理使正态分布在统计推断中扮演核心角色，因为大量独立随机变量的和或平均值趋向于正态分布。许多统计方法，如假设检验、置信区间、回归分析等，都基于数据服从或近似服从正态分布的假设。此外，通过标准化转换，任何正态分布都可以转化为标准正态分布，这便于查表或进行计算。正态分布的这些特性使其成为统计学和数据科学中不可或缺的工具。