视频字幕
傅里叶分析是一种强大的数学工具，它可以将任何复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦波的线性组合。这种分解揭示了信号中包含的不同频率成分。傅里叶分析的核心思想是：任何周期函数，无论多么复杂，都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的加权和。图中展示了一个方波信号如何被逐步分解为多个正弦波的叠加，随着我们增加更多的傅里叶项，近似效果越来越好。
傅里叶分析的数学表达形式是傅里叶级数，它表明任何周期函数都可以表示为正弦和余弦函数的无穷级数。在这个公式中，a0代表函数的平均值，而an和bn是不同频率分量的振幅。这些系数通过特定的积分公式计算，其中ω是基频，等于2π除以函数的周期T。傅里叶变换将时域信号转换为频域表示，揭示了信号中包含的频率成分。在图中，我们可以看到一个由三个不同频率正弦波组成的复杂信号，通过傅里叶变换，我们可以清晰地识别出这三个频率分量及其各自的振幅。
傅里叶分析在众多领域有广泛应用。在信号处理中，它用于滤波、分析和合成信号。例如，通过去除高频噪声，我们可以平滑信号，提取有用信息。在图像处理领域，JPEG压缩就是基于离散余弦变换（DCT），这是傅里叶变换的一种变体。通过保留重要的低频系数，丢弃或量化不重要的高频系数，实现高效压缩。此外，傅里叶分析还广泛应用于通信系统、医学成像、物理学和数据分析等领域。在通信系统中，它用于调制解调和频谱分析；在医学成像中，MRI和CT扫描都依赖于傅里叶变换的原理；在物理学中，它用于分析各种波动现象；在数据分析中，它帮助识别时序数据的周期性模式。
傅里叶分析在医学成像领域有着关键应用，特别是在核磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）技术中。在MRI中，扫描仪直接采集的是k空间数据，这实际上是频域中的信息。通过对这些k空间数据进行傅里叶逆变换，我们可以重建出空间域中的解剖结构图像。不同的组织在不同频率下有不同的响应特性，这使得MRI能够区分各种软组织。在CT扫描中，傅里叶分析同样扮演着重要角色。CT重建算法基于傅里叶切片定理，通过滤波反投影等技术，将从不同角度获取的投影数据重建为横断面图像。傅里叶变换不仅用于图像重建，还用于图像增强和噪声抑制，提高诊断质量。