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我们要讨论函数f(x)等于(x减1)乘以e的x次方，减去二分之a乘以x的平方的极值点个数。首先，我们需要求导数，并令导数等于零，找出可能的极值点。通过计算，我们得到导数f'(x)等于x乘以e的x次方减去ax。令导数等于零，得到x乘以(e的x次方减a)等于零。所以x等于零，或者e的x次方等于a。当a大于零且不等于1时，函数有两个极值点，分别是x等于零和x等于ln a。图中展示了当a等于0.5时的函数图像，可以看到函数有两个极值点。
在第一步中，我们求函数的导数。将函数f(x)等于(x减1)乘以e的x次方，减去二分之a乘以x的平方进行求导。通过求导法则，我们得到f'(x)等于e的x次方加上(x减1)乘以e的x次方，再减去ax。化简后得到f'(x)等于x乘以e的x次方减去ax，进一步因式分解得到x乘以(e的x次方减a)。在第二步中，我们令导数等于零，得到x乘以(e的x次方减a)等于零。所以x等于零，或者e的x次方等于a。图中蓝色曲线表示当a等于0.5时的导数函数，可以看到导数在x等于零和x等于ln(0.5)处等于零。
在步骤三中，我们分析不同参数a值下的极值点情况。首先，当a小于等于零时，方程e的x次方等于a没有解，因为e的x次方始终大于零。此时只有x等于零是临界点，通过分析导数的符号变化，我们发现f'(x)在x等于零处从负变正，所以x等于零是极小值点。因此，当a小于等于零时，函数有一个极值点。其次，当a等于1时，方程e的x次方等于a的解是x等于零。但通过分析导数f'(x)等于x乘以(e的x次方减1)在x等于零附近的符号，我们发现导数在x等于零附近恒正，所以x等于零不是极值点。因此，当a等于1时，函数没有极值点。最后，当a大于零且不等于1时，临界点有两个：x等于零和x等于ln a。通过分析导数的符号变化，这两个点都是极值点。因此，当a大于零且不等于1时，函数有两个极值点。图中分别展示了a等于负0.5、a等于1和a等于2时的函数图像，可以直观看出极值点的数量。