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欢迎学习等比数列。等比数列是一种特殊的数列，它的特点是从第二项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。对于等比数列，我们有公式：a_n除以a_(n-1)等于q，其中n大于等于2，且q不等于0。在右侧的图表中，我们展示了一个公比为2的等比数列，它的各项分别是1，2，4，8，16。可以看到，相邻两项的比值始终等于2。
接下来，我们来学习等比数列的通项公式。如果等比数列的首项是a₁，公比是q，那么第n项可以表示为：a_n等于a₁乘以q的n-1次方。我们可以通过观察等比数列的前几项来推导这个公式。第二项a₂等于a₁乘以q；第三项a₃等于a₂乘以q，也就是a₁乘以q的平方；第四项a₄等于a₃乘以q，也就是a₁乘以q的三次方。依此类推，我们可以得到第n项a_n等于a₁乘以q的n-1次方。在右侧的图表中，我们展示了一个首项为2，公比为2的等比数列。可以看到，通过应用通项公式，我们可以直接计算出任意一项的值。
现在，我们来学习等比数列的求和公式。设等比数列的前n项和为Sn。当公比q等于1时，Sn等于n乘以a₁。当公比q不等于1时，Sn等于a₁乘以(1减q的n次方)除以(1减q)，或者等价地，Sn等于a₁乘以(q的n次方减1)除以(q减1)。我们可以通过以下步骤推导这个公式：首先，写出Sn的展开式；然后，两边同乘以q；接着，用第一个式子减去第二个式子，得到Sn减去q乘以Sn等于a₁减去a₁乘以q的n次方；整理得到Sn乘以(1减q)等于a₁乘以(1减q的n次方)；最后，两边同除以(1减q)，得到求和公式。在右侧的图表中，我们展示了一个首项为2，公比为2的等比数列的前5项和。可以看到，随着n的增加，Sn的值迅速增长。
接下来，我们来了解等比数列的性质与应用。等比数列有许多重要的性质。首先是等比中项性质：任意连续三项中，中间项的平方等于前后两项的乘积。例如，在等比数列2，8，32中，中间项8的平方等于64，而2乘以32也等于64。第二个性质是关于等比数列的乘积：首尾乘积等于第二项与倒数第二项的乘积，依此类推。等比数列在实际生活中有广泛的应用。一个重要应用是复利计算：如果本金为P，年利率为r，那么n年后的本息和为P乘以(1加r)的n次方。这形成了一个等比数列，公比为(1加r)。另一个重要应用是无限等比数列的求和：当公比的绝对值小于1时，无限项和等于首项除以(1减公比)。在右侧的图表中，我们可以看到复利增长的曲线以及无限等比数列部分和如何逐渐接近极限值。
让我们总结一下等比数列的主要内容。等比数列是从第二项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数q的数列。等比数列的通项公式是：a_n等于a₁乘以q的n-1次方，其中a₁是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式是：当q不等于1时，S_n等于a₁乘以(1减q的n次方)除以(1减q)。等比数列有重要的性质，如等比中项性质：任意连续三项中，中间项的平方等于前后两项的乘积。等比数列在实际生活中有广泛的应用，包括复利计算、无限等比数列求和、人口增长模型等。通过本次学习，我们了解了等比数列的定义、性质和应用，这些知识对于解决实际问题和进一步学习数学都非常重要。