三角函數圖像的平移可分為水平平移和垂直平移。對於函數 y = A sin(ωx + φ) + B 或 y = A cos(ωx + φ) + B，φ 控制水平平移，而 B 控制垂直平移。讓我們先看看基本的正弦函數 y = sin(x)，然後觀察當我們改變參數時，圖像如何平移。紅色曲線展示了水平向右平移 π/2 單位的情況，即 y = sin(x - π/2)。綠色曲線展示了垂直向上平移 0.5 單位的情況，即 y = sin(x) + 0.5。
讓我們詳細了解水平平移。當我們將函數 y = sin(x) 向右平移 c 個單位時，得到的函數是 y = sin(x - c)。例如，紅色曲線 y = sin(x - π/2) 是將原始藍色曲線向右平移了 π/2 個單位。相反，當我們將函數向左平移 c 個單位時，得到的函數是 y = sin(x + c)。綠色曲線 y = sin(x + π/2) 展示了向左平移 π/2 個單位的效果。對於一般形式 y = A sin(ωx + φ) + B，相位移為 -φ/ω 個單位。
現在讓我們來看垂直平移。當我們將函數 y = sin(x) 向上平移 d 個單位時，得到的函數是 y = sin(x) + d。紅色曲線 y = sin(x) + 1 展示了將原始藍色曲線向上平移 1 個單位的效果。相反，當我們將函數向下平移 d 個單位時，得到的函數是 y = sin(x) - d。綠色曲線 y = sin(x) - 1 展示了向下平移 1 個單位的效果。對於一般形式 y = A sin(ωx + φ) + B，垂直平移量為 B 個單位。
現在讓我們來看水平和垂直平移的組合效果。對於一般形式的三角函數 y = A sin(ωx + φ) + B 或 y = A cos(ωx + φ) + B，我們可以同時應用水平和垂直平移。水平平移量為 -φ/ω 個單位，垂直平移量為 B 個單位。紫色曲線 y = sin(x - π/2) + 1 展示了將原始藍色曲線先向右平移 π/2 個單位，再向上平移 1 個單位的組合效果。這種組合平移在實際應用中非常常見，例如在物理學中描述相位偏移的波動。
讓我們總結三角函數圖像的平移規則。三角函數圖像平移分為水平平移和垂直平移。對於水平平移，函數 y = sin(x-c) 表示原函數向右平移 c 個單位，而 y = sin(x+c) 表示向左平移 c 個單位。對於垂直平移，函數 y = sin(x)+d 表示原函數向上平移 d 個單位，而 y = sin(x)-d 表示向下平移 d 個單位。對於一般形式 y = A sin(ωx + φ) + B，水平平移量為 -φ/ω，垂直平移量為 B。這些平移規則同樣適用於餘弦函數。理解這些平移規則對於分析和繪製三角函數圖像非常重要，也是解決相關問題的基礎。