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圆周率是圆的周长与直径之比。这个比值在任何大小的圆中都是相同的常数。最早的圆周率计算方法是通过实际测量圆的周长和直径。古埃及人在公元前1650年左右估算出圆周率约为3.16，而古巴比伦人则估算为3.125。这些早期的估算虽然简单，但已经相当接近圆周率的真实值3.14159。
阿基米德在公元前三世纪发明了一种更精确的计算圆周率的方法。他的思路是用正多边形来逼近圆。当多边形的边数增加时，它的周长会越来越接近圆的周长。阿基米德分别计算了内接和外切正96边形的周长，从而确定了圆周率的上下界。他得出圆周率大于三又十分之七十一，小于三又七分之一，即在3.1408到3.1429之间。这个结果在当时是非常精确的，也奠定了后来几何逼近法计算圆周率的基础。
随着17世纪微积分的发展，数学家们发现了用无穷级数计算圆周率的新方法。1673年，莱布尼茨发现了一个优雅的公式：π/4等于1减1/3加1/5减1/7，以此类推。这个级数虽然形式简洁，但收敛速度很慢，需要计算很多项才能得到较精确的结果。1706年，英国数学家马青发明了一个收敛速度更快的公式：π/4等于4乘以1/5的反正切减去1/239的反正切。使用马青公式，仅需计算几项就能得到圆周率的高精度值。这些无穷级数方法为后来的圆周率计算奠定了理论基础。
计算机的出现彻底改变了圆周率的计算方式。现代算法结合强大的计算能力，使圆周率计算达到了前所未有的精度。主要的现代算法包括：高斯-勒让德算法，它使用算术-几何平均值快速收敛；Salamin-Brent割线法，基于椭圆周长计算；楚德诺夫斯基算法，目前最流行的高精度算法之一；以及BBP公式，它可以直接计算圆周率的特定位数，而无需计算前面的所有位。圆周率计算的历史记录不断被刷新：1949年ENIAC计算了2037位，1967年达到50万位，1989年突破10亿位，2002年达到1万亿位，而2021年已经超过100万亿位。这些成就不仅展示了计算机的强大能力，也为数学和计算机科学提供了重要的测试平台。
总结一下圆周率计算方法的演进历程：圆周率是圆的周长与直径之比，是一个无理数，其计算方法经历了漫长的发展。从古代的简单几何测量，到阿基米德的多边形逼近法，再到微积分时代的无穷级数方法，如莱布尼茨级数和马青公式，最后到现代计算机时代的高效算法，使圆周率的计算精度达到了惊人的百万亿位。圆周率计算的历史不仅反映了人类对这个神奇常数的不懈探索，也展示了数学思想和计算技术的进步。这个看似简单的比值，蕴含着丰富的数学内涵，激发了一代又一代数学家的智慧和创造力。