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韦达定理是高中数学中的重要定理，它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，如果它有两个根x₁和x₂，那么根与系数之间存在两个基本关系：两根之和等于负的一次项系数除以二次项系数，即x₁加x₂等于负b除以a；两根之积等于常数项除以二次项系数，即x₁乘以x₂等于c除以a。在图中，我们可以看到方程x²-3x+2=0的两个根分别是1和2，它们的和是3，积是2，这正好对应了方程中的系数关系。
韦达定理的一个重要应用是不解方程直接求出关于根的代数式。例如，对于方程x²-5x+6=0，根据韦达定理，我们知道两根之和x₁加x₂等于5，两根之积x₁乘以x₂等于6。利用这两个关系，我们可以直接计算出各种关于根的表达式。比如，x₁平方加x₂平方等于(x₁加x₂)的平方减去2乘以x₁乘以x₂，即5的平方减去2乘以6，得到25减12等于13。同样，1除以x₁加1除以x₂等于(x₁加x₂)除以(x₁乘以x₂)，即5除以6。这种方法避免了解方程的繁琐计算，直接利用系数与根的关系得到结果。
韦达定理的第二个重要应用是构造方程。当我们知道方程的根时，可以利用韦达定理直接构造出对应的一元二次方程。例如，要构造以2和3为根的一元二次方程，我们可以按照以下步骤进行：首先确定两根x₁等于2，x₂等于3；然后根据韦达定理，计算出x₁加x₂等于5，x₁乘以x₂等于6；最后，利用公式x²减去(x₁加x₂)x再加上x₁乘以x₂等于0，代入得到x²减5x加6等于0。这种方法可以快速构造出以给定数值为根的方程，在解决数学问题时非常有用。
韦达定理的第三个重要应用是判断方程根的符号和大小关系。根据韦达定理，我们可以通过观察系数来直接判断根的性质，而不需要求解方程。判断规则如下：首先，如果两根之积x₁乘以x₂大于0，则两根同号。此时，若两根之和x₁加x₂大于0，则两根同为正数；若两根之和小于0，则两根同为负数。其次，如果两根之积小于0，则两根异号。此时，若两根之和大于0，则正根的绝对值大于负根的绝对值；若两根之和小于0，则负根的绝对值大于正根的绝对值；若两根之和等于0，则两根互为相反数。让我们看两个例子：对于方程x²-5x+6=0，两根之和为5大于0，两根之积为6大于0，所以两根同为正数；对于方程x²+3x-4=0，两根之和为-3小于0，两根之积为-4小于0，所以两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值。
韦达定理的第四个重要应用是解决含参数的方程问题。例如，已知关于x的方程x²+mx+n=0的两根x₁和x₂满足x₁²+x₂²=10，求m和n的值。解决这类问题的关键是利用韦达定理建立关于参数的方程组。首先，根据韦达定理，我们知道x₁加x₂等于负m，x₁乘以x₂等于n。其次，利用已知条件x₁²+x₂²=10，我们可以将其转化为(x₁加x₂)²减去2乘以x₁乘以x₂，即(-m)²减去2n，得到m²减2n=10。最后，结合韦达定理，我们可以构造方程组：m²减2n=10，n=4。解得m²=18，所以m等于正负3根号2。因此，答案是m等于正负3根号2，n等于4。这个例子展示了韦达定理在解决参数问题中的强大应用。