视频字幕
牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理的第二部分。它指出，如果f是在闭区间a到b上的连续函数，F是f的一个原函数，那么f从a到b的定积分等于F在b点的值减去F在a点的值。这个公式建立了微分和积分之间的联系，是微积分中最重要的定理之一。从几何角度看，这个公式表明，函数f下方从a到b的面积等于原函数F在b点和a点的值之差。
现在我们来证明牛顿-莱布尼兹公式。首先，定义积分上限函数G(x)为f从a到x的定积分。根据微积分基本定理的第一部分，G的导数等于f。由于F是f的原函数，所以F'也等于f。因此，G和F有相同的导数，它们只相差一个常数C。当x等于a时，G(a)等于0，所以C等于负F(a)。代入C的值，得到G(x)等于F(x)减F(a)。最后，令x等于b，我们得到f从a到b的定积分等于F(b)减F(a)，这就是牛顿-莱布尼兹公式。
现在我们来解决第二个问题，计算变限积分函数的导数。给定函数H(x)等于f从a(x)到b(x)的定积分，其中a和b是关于x的可导函数。首先，我们应用牛顿-莱布尼兹公式，将H(x)表示为F(b(x))减F(a(x))，其中F是f的原函数。接下来，对H(x)求导，应用链式法则。对于第一项F(b(x))的导数，等于F'(b(x))乘以b'(x)，即f(b(x))乘以b'(x)。同理，对于第二项F(a(x))的导数，等于f(a(x))乘以a'(x)。最终，我们得到H'(x)等于f(b(x))乘以b'(x)减去f(a(x))乘以a'(x)。这个结果表明，变限积分的导数不仅与被积函数有关，还与积分上下限的变化率有关。
让我们从几何角度理解变限积分的导数。当x变化时，积分区域的面积变化率由两部分组成。第一部分是右边界移动带来的面积变化，表示为f(b(x))乘以b'(x)。这相当于右边界处的函数值乘以右边界的移动速率。第二部分是左边界移动带来的面积变化，表示为负的f(a(x))乘以a'(x)。这里有负号是因为当左边界向右移动时，积分区域的面积减小。总的变化率是这两部分之和，即f(b(x))乘以b'(x)减去f(a(x))乘以a'(x)。这就是变限积分导数公式的几何解释。
让我们总结一下本次讲解的内容。首先，我们学习了牛顿-莱布尼兹公式，它指出定积分等于原函数在积分上限处的值减去在积分下限处的值。这个公式建立了微分和积分之间的联系，是微积分中最基本的定理之一。然后，我们计算了变限积分函数的导数，得到H'(x)等于f(b(x))乘以b'(x)减去f(a(x))乘以a'(x)。从几何角度看，这个公式表示积分区域面积的变化率，由右边界和左边界移动带来的面积变化共同决定。这些结论在物理学中计算功、热力学中计算热量、概率论中处理分布函数等方面有广泛应用。通过本次学习，我们不仅掌握了重要的数学公式，还理解了它们的几何意义和实际应用价值。