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有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数形式p比q，其中q不等于零。有理数包括所有的整数和分数。在数轴上，有理数可以精确定位。例如，整数如-3、-2、-1、0、1、2、3，以及分数如1/2、3/4、4/3等都是有理数。有理数的一个重要特性是它们的小数表示要么是有限的，要么是无限循环的。
有理数的小数表示有两种形式：有限小数和无限循环小数。有限小数如1/4等于0.25，3/5等于0.6。无限循环小数如1/3等于0.333循环，22/7等于3.142857循环。任何有理数都可以通过除法转换为小数。例如，5/6通过长除法得到0.8333循环。这种循环模式是有理数的特征。反过来，任何有限小数或无限循环小数都可以转换为分数形式。
无理数是不能表示为两个整数之比的数。它们的小数表示是无限不循环的。常见的无理数包括根号2约等于1.414，圆周率π约等于3.142，自然对数的底e约等于2.718。我们可以通过反证法证明根号2是无理数：假设根号2可以表示为最简分数p比q，则p平方等于2乘以q平方。这意味着p平方是偶数，所以p是偶数。设p等于2k，代入得到q平方等于2k平方，所以q也是偶数。但这与p和q互质的假设矛盾，因此根号2不可能是有理数。
让我们比较有理数和无理数的特性。有理数可以表示为分数p比q，其小数表示是有限的或无限循环的，并且在数轴上稠密分布。无理数不能表示为分数形式，其小数表示是无限不循环的，包括许多重要的数学常数如π和e。有理数和无理数共同构成了实数集合。虽然直觉上我们可能认为大多数数是有理数，但实际上无理数在数轴上更为"常见"。从数学上讲，无理数的基数大于有理数的基数，尽管两者都在数轴上稠密分布。
总结一下我们学习的内容：有理数可以表示为分数形式p比q，其小数表示是有限的或无限循环的。无理数不能表示为分数形式，其小数表示是无限不循环的。常见的无理数包括根号2、圆周率π、自然对数的底e等数学常数。有理数和无理数共同构成了实数集合。在数学、科学和工程领域中，这两类数都有着重要的应用。理解有理数和无理数的区别与联系，对于深入学习数学和应用科学具有重要意义。