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中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它表明：当独立同分布的随机变量足够多时，它们的均值的分布会近似服从正态分布，无论这些随机变量本身服从什么分布。这个定理解释了为什么在自然界和社会现象中，正态分布如此普遍。无论原始数据是均匀分布、指数分布还是其他任何分布，当样本量足够大时，样本均值的分布都会趋向于钟形的正态分布。
中心极限定理可以用数学语言精确表述。假设我们有n个独立同分布的随机变量X₁到Xₙ，它们的期望为μ，方差为σ²。我们定义这些变量的均值为X̄ₙ，并将其标准化得到Zₙ。中心极限定理告诉我们，当n趋向于无穷大时，Zₙ的分布会收敛到标准正态分布N(0,1)。这里我们可以看到，随着样本量n的增加，均值的分布逐渐从原始分布变成了钟形的正态分布。当n达到30时，这个分布已经非常接近标准正态分布了。
让我们通过一个模拟实验来直观理解中心极限定理。在这个实验中，我们从均匀分布[0,1]中抽取随机样本，然后计算不同样本量下的样本均值，并观察这些均值的分布形状。蓝色柱状图表示实际的样本均值分布，红色曲线表示理论上的正态分布。当样本量n=1时，均值就是原始的均匀分布。当我们增加样本量到n=5时，可以看到分布开始向中间集中。当样本量达到n=10时，分布形状已经很接近正态分布了。到n=30时，样本均值的分布几乎完全符合正态分布。这个模拟清晰地展示了中心极限定理的核心内容：随着样本量增加，样本均值的分布越来越接近正态分布。
中心极限定理在实际中有广泛的应用。首先，在统计推断中，它是构建置信区间和进行假设检验的理论基础。其次，在抽样调查中，它帮助我们估计总体参数并确定所需的样本量大小。此外，在质量控制领域，它用于监控生产过程和设定控制限。图中展示了一个典型应用：如何确定抽样调查所需的样本量。红色曲线表示95%置信区间的宽度随样本量增加而减小。当我们设定目标精度（绿色水平线）时，可以确定达到这一精度所需的最小样本量（绿色垂直线）。这说明了中心极限定理如何帮助我们在实际工作中做出科学决策。
让我们总结一下中心极限定理的核心内容。中心极限定理是概率论中的基本定理，它描述了大量独立随机变量均值的分布特性。这个定理告诉我们，无论原始分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布都会趋近于正态分布。用数学语言表述，标准化的样本均值分布会收敛到标准正态分布N(0,1)。我们通过模拟演示看到，样本量越大，样本均值的分布就越接近正态分布。中心极限定理在统计推断、抽样调查、质量控制等领域有着广泛的应用。它是现代统计学的基石之一，帮助我们理解和分析复杂的随机现象。