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级数收敛性判断是微积分中的重要内容。当我们面对一个无穷级数时，需要判断它是否收敛到一个有限值。例如，级数一比n的平方的和，它收敛到π的平方除以6。在接下来的内容中，我们将介绍几种常用的判别法，帮助我们判断各种类型级数的收敛性。
比较判别法是判断级数收敛性的基本方法之一。它的基本思想是：如果对于所有足够大的n，有0≤aₙ≤bₙ，那么当级数∑bₙ收敛时，级数∑aₙ也收敛；反之，如果级数∑aₙ发散，那么级数∑bₙ也发散。例如，要判断级数∑1/n²的收敛性，我们可以将其与已知的级数进行比较。从图中可以看出，对于所有n≥1，有1/n(n+1) < 1/n² < 1/n。由于级数∑1/n是调和级数，它是发散的，但这不能直接得出∑1/n²的结论。而级数∑1/n(n+1)可以证明是收敛的，所以根据比较判别法，∑1/n²也是收敛的。
比值判别法，也称为达朗贝尔判别法，是判断正项级数收敛性的有力工具。对于级数∑aₙ，我们计算极限ρ等于aₙ₊₁除以aₙ。如果ρ小于1，则级数收敛；如果ρ大于1，则级数发散；如果ρ等于1，则判别法失效，需要使用其他方法。图中绿色曲线表示级数∑1/n阶乘，其比值极限为0，所以收敛；蓝色曲线表示调和级数∑1/n，其比值极限为1，判别法失效；红色曲线表示级数∑n，其比值极限大于1，所以发散。根值判别法，也称为柯西判别法，与比值判别法类似，但计算的是aₙ的n次方根的极限。例如，对于级数∑n²/3ⁿ，使用比值判别法计算得到极限为1/3，小于1，所以级数收敛。
积分判别法是判断正项级数收敛性的重要方法。如果函数f(x)在区间[1,∞)上连续、正值且单调递减，那么级数∑f(n)与积分∫₁^∞f(x)dx具有相同的敛散性。图中展示了函数f(x)=1/x，其积分∫₁^∞(1/x)dx等于无穷大，因此调和级数∑(1/n)发散。交错级数判别法，也称为莱布尼茨判别法，适用于形如∑(-1)ⁿ⁺¹bₙ的交错级数。如果序列{bₙ}单调递减且极限为零，则级数收敛。例如，交错调和级数∑(-1)ⁿ⁺¹(1/n)满足这些条件，因此它是收敛的，尽管对应的调和级数∑(1/n)是发散的。这说明交错可以使某些发散级数变为收敛级数。
让我们总结一下判断级数收敛性的主要方法。首先，需要根据级数的特点选择合适的判别法。比较判别法通过与已知收敛或发散的级数比较来判断；比值判别法计算相邻项的比值极限，与1比较；根值判别法计算项的n次方根的极限，同样与1比较；积分判别法将级数转化为积分来判断；交错级数判别法则检查项的单调性和极限。不同类型的级数可能需要不同的判别法，例如：对于p级数∑1/nᵖ，当p大于1时收敛，p小于等于1时发散；级数∑1/n!收敛；级数∑nᵏ/rⁿ，当r大于1时收敛，r小于等于1时发散；交错调和级数∑(-1)ⁿ⁺¹(1/n)收敛。掌握这些判别法，可以帮助我们判断大多数常见级数的收敛性。